Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

изображения имеет один простой корень
p
1
= 1 и один корень кратности
2: p
2
=-2. По формуле (7.3) находим
f[t]=
R@p
1
D∗
p
1
t

Q'
@
p
1
D
+
∂

∂
p
A
R@pD∗
pt

Q
@
p
D
∗ Hp − p
2
L
2
E …
p=p
2
=
R@1D∗
t

Q'
@
1
D
+
∂

∂
p
A
R@pD∗
pt

p
−1
E …
p=−2
Учитывая, что Q'[p]= 2 H-1 + pLH2 + pL+ H2 + pL
2
и
∑
p
H
p
2
+1L*‰
p
t
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
p
-1
= ‰
p
t
H-1 + p H-2 +
t
L- p
2
H-1 +
t
L-
t
+ p
3
t
LêH1 - pL
2
,
отсюда получим
f[t]=Hp
2
+ 1L*
‰
p
t
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 H-1+
p
LH2+
p
L+H2+
p
L
2
ê
.pØ 1+
(‰
p
t
H-1 + p H-2 + tL- p
2
H-1 + tL- t + p
3
tL
ê
H1 - pL
2
/.pØ-2)
=
2 ‰
t
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
9
+
1
Å
Å
9
‰
-2
t
H7 - 15 tL
8. Пример на вычисление обратного преобразования Лапласа
Задача. Найти оригинал функции F@pD =
1
ÄÄÄÄÄÄ
p
„
-m
è!!!!
p
,m> 0.
В силу теоремы 4.1 оригинал существует и может быть найден по формул
е
f[t]=
1

2 π
‡
σ
−∞
σ+
∞
F@pD
pt
p =
1

2 π
‡
σ
−∞
σ+
∞
1

p
−m
è!!!!
p
pt
p , σ>0
Рассмотрим замкнутый контур
G
R
(см. рис. 8.1), состоящих из
полуокружности C
R
-
радиуса
R
с центром точке (
s
,0), расположенной в
полуплоскости Rep
§s
; отрезка [
s
-
Â
R
,b+
Â
R
]; отрезков, лежащих на
берегах разреза
g
: Imp=
≤
0,-R+
s§
Rep
§
-
r
; окружности C
r
:
»
p
»
=
r
<R. По
теореме Коши
‡
Γ
R
F@pD
pt
p = 0 (8.1)
По лемме Жордана
‡
С
R
−
H
σ
L
F@pD
pt
p → 0 при R →∞
Действительно, если p=R
‰
Â
j
, то следует положить
è!!!!
p =
è!!!!
R ‰
Â
j
Å
Å
Å
Å
Å
2
(0§»j»<p). Следовательно, Re
è!!!!
p
=
è!!!!
RCos[
j
Å
Å
Å
Å
2
]
(0<Cos[
j
Å
Å
Å
Å
2
]
§
1) и
»
F[p]
»
§
1
ÅÅÅÅÅ
R
‰
-
m
è!!!!
R
Cos@
j
ÅÅÅÅÅ
2
D
Ø
0 при R
ض
, и применение
леммы Жордана законно. Рассматривая интегралы по берегам разреза,
23
                                                           23



изображения имеет один простой корень p1 = 1 и один корень кратности
2: p2 = -2. По формуле (7.3) находим

f[t]=

 R@p1 D∗ p1 t
   Q'@p1 D                      A R@pD∗                ∗ Hp − p2 L2 E …p=p2 =
  ∂ A R@pD∗                  E …p=−2
                                                 pt                                               R@1D∗ t
                        +     ∂                                                                             +
                              ∂p    Q@pD                                                           Q'@1D
                        pt
 ∂p        p−1

         Учитывая, что Q'[p]= 2 H-1 + pL H2 + pL + H2 + pL2 и


            p-1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ‰ H-1 + p H-2 + tL - p H-1 + tL - t + p tL ê H1 - pL ,
      Hp +1L*‰
          2        pt
                            pt                   2                3            2
  ∑p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ



                                            ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ê. p Ø 1+
  отсюда получим
                 2 H-1+pL H2+pL+H2+pL2
                                  ‰ pt
f[t]=Hp2 + 1L * ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
 (‰p t H-1 + p H-2 + tL - p2 H-1 + tL - t + p3 tL ê H1 - pL2 /.pØ-2)
      ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ19 ‰-2 t H7 - 15 tL
    2 ‰t
 = ÅÅÅÅ
      9

  8. Пример на вычисление обратного преобразования Лапласа
                                         1      è!!!!
Задача. Найти оригинал функции F@pD = ÄÄÄÄÄ „ -m p , m > 0.
                                        p

В силу теоремы 4.1 оригинал существует и может быть найден по формуле
                                                                                          è!!!!
                        ‡           F @pD                            ‡
                             σ+ ∞                                        σ+ ∞   1
                 1                              pt             1                     −m     p       pt
    f[t]=                                              p=                                                p, σ>0
                2π
                             σ− ∞
                                                              2π
                                                                         σ− ∞   p
   Рассмотрим замкнутый контур GR (см. рис. 8.1), состоящих из
полуокружности CR - радиуса R с центром точке (s,0), расположенной в

берегах разреза g: Imp=≤0,-R+s§Rep§-r; окружности C r : »p»=r

Страницы