Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

прежде всего заметим, что
j=p: p=-r,
è!!!!
p =
è!!!
r  (r§r<R-s) j=-p: p=-r,
è!!!!
p =-
è!!!
r  (r§r<R-s)
Поэтому интегралы по берегам разреза g можно записать как один
интеграл
1

2
π
Ÿ
Γ
R
F@pD
pt
p =
1

2
π
‡
ρ
R
−σ
−rt
∗
−
m
è!!!!
r
+
−m
è!!!!
r

r
r =
−
1

π
‡
ρ
R
−σ
−rt
∗
SinAm
è
!!!!
r E

r
r
Для интеграла по C
r
легко устанавливаем
1

2 π
‡
C
ρ
F@pD
pt
p=
1

2 π
‡
−
π
π
t ρ
ϕ
−m
è
!!!!
ρ
ϕ

2
ϕ→1 при ρ→0
Поэтому после перехода в (8.1) к пределу при Rض и rØ0 найдём,
учитывая теорему 4.1,
f[t]=1-
1
ÅÅÅÅÅ
p
‡
‰
-rt
*
SinAm
è!!!
r E
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
r
„ r
После замены переменной интегрирования r=
x
2
в последнем интеграле
находим
f[t]=1-
2

π
‡
0
∞
− x
2
t
∗
Sin@mxD

x
x
Рассмотрим далее интеграл
J[t,m]=
‡
0
∞
− x
2
t
∗
Sin@mxD

x
x
и найдём производную по m
∑
m
J@t,mD=
‡
‰
- x
2
t
* Cos@mxD„ x
Подсчитаем последниий интеграл с помощью пакета Mathematica
IntegrateA
− x
2
t
∗ Cos@mxD, 8x, 0, ∞<E
IfAIm@mD == 0&&Re@tD > 0,
−
m
2

4t
è!!!
π

2
è!!!
t
,
‡
0
∞
−tx
2
Cos@mxD xE
24
                                                                             24




          è!!!! è!!!                    è!!!! è!!!
прежде всего заметим, что
j=p: p=-r, p = r  (r§r 0,                                                     ,                               Cos@m xD xE
                                                                        2 t        0

Страницы