Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, при условии Im@
m
D= 0 и Re@
t
D> 0 получаем
значение интеграла
∂
m
J@t,mD =
−
m
2

4t
è!!!
π

2
è!!!
t
Последнее уравнение проинтегрируем по m, замечая, что J@t, 0D= 0,
J@t, mD=
‡
0
m
−
y
2

4t
è!!!
π

2
è!!!
t
y =
è!!!
π
‡
0
m
−I
y

2
è!!!!
t
M
2
i
k
j
j
y

2
è!!!
t
y
{
z
z
=
è!!!
π
‡
0
m

2
è!!!!
t
−x
2
x
Если воспользоватьс
я
стандартным обозначением
Erf@xD=
2

è!!!
π
‡
0
z
e
−t
2
d t, то можно окончательно установить
f@tD= 1 −
2

π
J@t, mD= 1 −
2

è!!!
π
‡
0
m

2
è!!!!
t
−x
2
x = 1 − ErfA
m

2
è!!!
t
E
Лекция 4
9. Пример решения задачи для уравнения с частными
производными с помощью преобразования Лапласа
Задача. Найти решение уравнения свободных колебаний конечной
струны
∂
t
,
t
u@x, tD -∂
x
,
x
u@x, tD ä 0, 0 < x < 1, t > 0, H9.1L
при условиях
u
x
=0
= 0; ∂
x
u
x
=1
= Sin@w tD; u
t
=0
= 0; ∂
t
u
t
=0
= 0. H9.2L
Решение. Применим преобразование Лапласа L по переменной t.
Используя свойства преобразования Лапласа, получим
U[x,p]=L[u[x,t]]
L@∑
x
,
x
u@x, tDD=∑
x
,
x
L@u@x, tDD=∑
x
,
x
U@x, pD
L@∑
t
,
t
u@x, tDD= p
2
U[x,p]-pu[x,+0]-H∑
t
u@x, tDL
t
=+0
= p
2
U@x, pD
U
x
=0
= L@u@x, tDD
x
=0
= 0
∑
x
U@x, pD
x=1
= L@∑
x
u@x, tD
x=0
D= L@Sin@w tDD=
w
Å
ÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅ
ÅÅ
Å
p
2
+w
2
Таким образом, решение задачи (9.1)-(9.2) свелось к решению
граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
∑
x
,
x
U@x, pD- p
2
U@x, pD==0, U
x
=0
=0, ∑
x
U@x, pD
x
=1
=
w
Å
ÅÅÅÅÅÅ
Å
ÅÅÅ
Å
Å
Å
p
2
+w
2
(9.3)
25
                                       25



Таким образом, при условии Im@mD = 0 и Re@tD > 0 получаем

                                     è!!!
значение интеграла

                                    è!!!
                                       m2
                                   −   4tπ
                 ∂m J@t, mD =
                                   2 t
Последнее уравнение проинтегрируем            по m, замечая, что J@t, 0D = 0,

    m − y è!!!
J@t, mD =
                    è!!!                       i
                                               j           y
                                                           z è!!! 2 è!!!t!
 ‡       è!!!            ‡
                                      ! M
                                               j è!!!      z= π ‡
                                                                        m
                              −I 2 è!!!
          2
                            m

                                               k2 t        {
                                          2
        4t    π                    y
                                                 y                           −x2
                y =  π               t                                             x
   0   2 t                 0                                      0

Если воспользоваться стандартным обозначением

Erf @xD = è!!! ‡ e−t d t, то можно окончательно установить
                z
           2        2

            π 0

 f@tD = 1 − π J@t, mD = 1 − è!!! ‡                                            è!!! E
                                    è!!!!
                                                 m
            2                2     2 t
                                                     −x2                      m
                                                             x = 1 − ErfA
                              π 0                                            2 t


                                       Лекция 4


  9. Пример решения задачи для уравнения с частными
     производными с помощью преобразования Лапласа
 Задача. Найти решение уравнения свободных колебаний конечной
струны
  ∂t,t u@x, tD - ∂ x,x u@x, tD ä 0, 0 < x < 1, t > 0,                 H9.1L


                                                                       H9.2L
   при условиях
   u x=0 = 0; ∂ x u x=1 = Sin@w tD; ut=0 = 0; ∂t ut=0 = 0.
  Решение. Применим преобразование Лапласа L по переменной t.
Используя свойства преобразования Лапласа, получим
  U[x,p]=L[u[x,t]]
  L@∑x,x u@x, tDD=∑x,x L@u@x, tDD = ∑x,x U@x, pD
   L@∑t,t u@x, tDD = p2 U[x,p]-pu[x,+0]-H∑t u@x, tDLt=+0 = p2 U@x, pD

   ∑x U@x, pDx=1 = L@∑x u@x, tDx=0 D = L@Sin@w tDD = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
   Ux=0 = L@u@x, tDDx=0 = 0
                                                           w
                                                            ÅÅÅÅÅÅÅ
                                                        p2 +w2
    Таким образом, решение задачи (9.1)-(9.2) свелось к решению
граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
                                                              w
  ∑x,x U@x, pD - p2 U@x, pD==0, Ux=0 =0, ∑x U@x, pDx=1 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                                          p2 +w2
                                                                ÅÅÅÅÅÅÅ (9.3)

Страницы