Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

U@x, pD →
H
px
−
−px
Lω

H
−p
+
p
Lp Hp
2
+ω
2
L
ê.
8H
px
−
−px
L → 2 Sinh@pxD, H
−p
+
p
L → 2 Cosh@pD<
U@x, pD →
ω Sech@pDSinh@pxD

p Hp
2
+ω
2
L
Впрочем, нахождение общего решения, определение постоянных и
упрощение решения может быть поручено пакету Mathematica с
помощью команды
FullSimplifyA
DSolveA9∂
x,x
U@x, pD− p
2
U@x, pD 0, HU@x, pDê.x→ 0L== 0,
H∂
x
U@x, pDê.x→ 1L==
ω

p
2
+ω
2
=,U@x, pD,xEE
99U@x, pD →
ω Sech@pDSinh@pxD

p
3
+ p ω
2
==
U@x, pD =
ω Sinh@pxD

p Hp
2
+ω
2
L Cosh@pD
Перейдём к анализу найденной формулы представления для U[x,p].
Прежде всего заметим, что p=0 не является полюсом функции U[x,p]
(устранимая особенность). Действительно, для любого x>0 при p
Ø
0
имеем
Simplify@Series@Sinh@pxD, 8p, 0, 3<DêpD
x +
x
3
p
2

6
+ O@pD
3
Пусть p=
s
+
Â
x
, Rep=
s¥
a, где a - любое положительное число. Два
простых полюса функции U[x,p] находятся в точках p=
≤Â
w
(
w
>0)
Solve@p
2
+ω
2
0, pD
88p →−ω<, 8p →ω<<
Нам остаётся найти полюсы функции Sech[p]=
1
Å
ÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
ÅÅÅÅÅÅ
Å
Å
Å
Cosh@
p
D
. Для этого найдём
H»Cosh@pD»L
2
. Как известно, Cosh[
s
+
Âx
]=Cosh[
s
]Cos[
x
]+
Â
Sinh[
s
]-
Sin[
x
]. Поэтому
» Cosh@pD»
2
= »
Cosh@σ+ξD»
2
= » Cosh@σD Cos@ξD+Sinh@σD Sin@ξD»
2
=
HCosh@σD Cos@ξDL
2
+ HSinh@σD Sin@ξDL
2
≥ Sinh@σD
2
27
                                             27



                   H            −p x L
                                        ê.
                       px   −            ω
                H −p + p L p Hp2 + ω2 L
   U@x, pD →

 8H p x − −p x L → 2 Sinh@p xD, H −p + p L → 2 Cosh@pD<

                 p Hp2 + ω2 L
            ω Sech@pD Sinh@p xD
U@x, pD →


Впрочем, нахождение общего решения, определение постоянных и
упрощение решения может быть поручено пакету Mathematica с
помощью команды
   FullSimplifyA
  DSolveA9∂x,x U@x, pD − p2 U@x, pD 0, HU@x, pD ê. x → 0L == 0,

    H∂x U@x, pD ê. x → 1L ==         =, U@x, pD, xEE
                                ω
                             p2 + ω2

99U@x, pD →                        ==
               ω Sech@pD Sinh@p xD
                     p3 + p ω2
               ω Sinh@p xD
            p Hp2 + ω2 L Cosh@pD
U@x, pD =


Перейдём к анализу найденной формулы представления для U[x,p].
Прежде всего заметим, что p=0 не является полюсом функции U[x,p]
(устранимая особенность). Действительно, для любого x>0 при pØ0
имеем
   Simplify@Series@Sinh@p xD, 8p, 0, 30)
   Solve@p2 + ω2       0, pD
88p → − ω<, 8p →       ω<<

                                                  1

H » Cosh@pD »L2 . Как известно, Cosh[s+Âx]=Cosh[s]Cos[x]+Â Sinh[s]-
Нам остаётся найти полюсы функции Sech[p]= ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                            Cosh@ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
                                                      pDÅÅ . Для этого найдём



» Cosh@pD »2 = »
Sin[x]. Поэтому

   Cosh@σ + ξD »2 = » Cosh@σD Cos@ξD + Sinh@σD Sin@ξD »2 =
   HCosh@σD Cos@ξDL2 + HSinh@σD Sin@ξDL2 ≥ Sinh@σD2

Страницы