Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Здесь мы учли, что Cosh[
s
]
¥
Sinh[
s
] при любом
se
Ñ
. Следовательно,
Cosh[p] может обратиться в нуль лишь при
s
=0. Поскольку при
s
=0
Cosh[p]=Cosh[
Âx
]=(
‰
Â
x
+
‰
-
Â
x
)/2=Cos[
x
], то нули функции Cosh[
Âx
]
(и следовательно, полюсы функции Sech[p]) определяются нулями
x
k
=≤Hk - 1 ê2Lp функции Cos[
x
].
Обозначим
n
k
=
(k - 1/2)
p
, k=1,2,...Тогда для нахождения обратного
преобразования Лапласа u[x,t]=
L
-
1
@U@x, pDD можно воспользоваться
второй теоремой разложения, в силу которой
u [ x , t ] = ResidueA
ω Sec
h
@
p
D
S
i
n
h
@
p
x
D

p
H
p
2
+ω
2
L
∗
pt
, 8p, ω<E +
ResidueA
ω Sec
h
@
p
D
S
i
n
h
@
p
x
D

p
H
p
2
+ω
2
L
∗
pt
, 8p, − ω<E+
‚
k
=1
∞
ResidueA
ω Sech@pDSinh@pxD

p Hp
2
+ω
2
L
∗
pt
, 8p, ν
k
<E+
‚
k
=1
∞
ResidueA
ω Sech@pDSinh@pxD

p Hp
2
+ω
2
L
∗
pt
, 8p, −ν
k
<E (9.4)
Предположим, что все полюсы функции U[x, p] простые. Для этого
достаточно предположить, что w∫Hk - 1
ê
2Lp,k= 1, 2, ...Обозначим
h[p,x,t]=w Sinh[p x] ‰
pt
/p
q[p]=Hp
2
+w
2
LCosh[p]
Как известно, для любого простого полюса p=a вычет можно подсчитать
по формуле
ResidueA
h
@
p
,
x
,
t
D

q
@
p
D
, 8p, a<E=
h
@
a,
x
,t
D




q
'@aD
Поэтому
ResidueA
h
@
p
,
x
,
t
D

q
@
p
D
, 8p, ω<E=
h@
ω,
x
,tD

q
'@ωD
=
t ω
Sin@
x
ωD

2 ωCos@ωD
ResidueA
h
@
p
,
x
,
t
D

q
@
p
D
, 8p, − ω<E=
h@−
ω,
x
,tD

q
'@− ωD
=−
−
t ω
Sin@
x
ωD

2 ωCos@ωD
ResidueA
h
@
p
,
x
,
t
D

q
@
p
D
, 8p, ν
k
<E =
h
@
ν
k
,
x
,t
D


q
'@ν
k
D
=
−I8 H−1L
k
H−
1
2
+kLπ t
ω Sin@H−
1

2
+ kL π xDM
ë
HH−1 + 2kL
3
π
3
− 4 H−1 + 2kLπω
2
L
ResidueA
h
@
p
,
x
,
t
D

q
@
p
D
, 8p, −ν
k
<E =
h@−ν
k
,
x
,tD


q
'@−ν
k
D
=
I8 H−1L
k
− H−
1
2
+kLπ t
ω Sin@H−
1

2
+ kL π xDM
ë
HH−1 + 2kL
3
π
3
− 4 H−1 + 2kLπω
2
L
При выводе мы учли, что ∂
p
HHp
2
+ω
2
LCosh@pDL=
2 p Cosh@pD+ Hp
2
+ω
2
LSinh@pD
28
                                                 28



Здесь мы учли, что Cosh[s]¥Sinh[s] при любом seÑ. Следовательно,
Cosh[p] может обратиться в нуль лишь при s=0. Поскольку при s=0
Cosh[p]=Cosh[Âx]=( ‰ Â x + ‰ -Â x )/2=Cos[x], то нули функции Cosh[Âx]

xk = ≤Hk - 1 ê 2L p функции Cos[x].
(и следовательно, полюсы функции Sech[p]) определяются нулями



  преобразования Лапласа u[x,t]=L -1 @U@x, pDD можно воспользоваться
   Обозначим nk = Â (k - 1/2)p, k=1,2,...Тогда для нахождения обратного

второй теоремой разложения, в силу которой

u [ x , t ] = ResidueA ω Sech@pD p Hp2 +ω2 L
                                      Sinh@p xD
                                                ∗ pt , 8p,                   ω

Страницы