Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

FullSimplifyA
h@p, x, tDëI
2 p Cosh@pD+ Hp
2
+ω
2
LSinh@pD
Mê.p→ ω,
t > 0&&0< x < 1&&ω>0E
FullSimplifyAh@p, x, tD
ë
I
2 p Cosh@pD+ Hp
2
+ω
2
LSinh@pD
Mê.
p →−ω,t> 0&&0< x < 1&&ω>0E
−

t ω
Sec@ωDSin@x ωD

2 ω

− t ω
Sec@ωDSin@x ωD

2 ω
FullSimplifyA
h@p, x, tDëI
2 p Cosh@pD+ Hp
2
+ω
2
LSinh@pD
Mê.p→ Hk − 1 ê2L∗π,
k ∈ Integers && t > 0&&0< x < 1&&ω>0E
FullSimplifyAh@p, x, tD
ë
I
2 p Cosh@pD+ Hp
2
+ω
2
LSinh@pD
Mê.
p →− Hk − 1 ê2L∗π,k∈ Integers && t > 0&&0< x < 1&&ω>0E
−J8 H−1L
k
H−
1

2
+kLπ t
ω SinAJ−
1

2
+ kNπ xEN
í
HH−1 + 2kL
3
π
3
− 4 H−1 + 2kLπω
2
L
J8 H−1L
k
− H−
1

2
+kLπ t
ω SinAJ−
1

2
+ kNπ xEN
í
HH−1 + 2kL
3
π
3
− 4 H−1 + 2kL πω
2
L
Таким образом, из (9.4) получаем
u[x,t]=−

t ω
Sec@ωDSin@x ωD

2
ω
+

− t ω
Sec@ωDSin@x ωD

2
ω
-
‚
k
=1
∞
II8 H−1L
k
H−
1
2
+kLπ t
ω Sin@H−
1

2
+ kLπ xDM
ë
HH−1 + 2kL
3
π
3
− 4 H−1 + 2kL πω
2
L−
I8 H−1L
k
− H−
1

2
+kLπ t
ω Sin@H−
1

2
+ kLπ xDM
ë
HH−1 + 2kL
3
π
3
− 4 H−1 + 2kL πω
2
L
M
=
Sec@ωDS
i
n@t ωDS
i
n@x ωD

ω
+
‚
k
=1
∞
H2 H−1L
ω Sin@Hk −
1
2
Lπ tDSin@Hk −
1

2
Lπ xDLê
HHk − 1 ê2L∗π∗HHk − 1 ê2L
2
π
2
−ω
2
LL
(9.5)
Последнюю формулу, представляющую решение в виде ряда, можно
считать окончательной. Для построения графика решения u[x,t] задачи
можно ограничиться конечным числом слагаемых в сумме (9.5). Введём
обозначение
29
                                                         29



      FullSimplifyA
     h@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê. p →
                                   2   2
                                                                                               ω,
     t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E
      FullSimplifyAh@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê.
                                                 2   2


     p→−         ω, t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E
           tω Sec@ωD Sin@x ωD
−
                  2ω
      −   t ω Sec@ωD Sin@x ωD

                 2ω

           FullSimplifyA
     h@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê. p →                                      Hk − 1 ê 2L ∗ π,
                                   2   2


     k ∈ Integers && t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E
          FullSimplifyAh@p, x, tD ë I2 p Cosh@pD + Hp + ω L Sinh@pDM ê.
                                                     2   2


     p→−         Hk − 1 ê 2L ∗ π, k ∈ Integers && t > 0 && 0 < x < 1 && ω > 0E

           H−1Lk        H−
                                       + kN π xEN í
                             1     1
                                 +kL π t
−J8                                           ω SinAJ−
  HH−1 + 2 kL3 π3 − 4 H−1 + 2 kL π ω2 L
                             2
                                   2


J8 H−1Lk − H− 2 +kL π t ω SinAJ−      + kN π xEN í
                 1                1

 HH−1 + 2 kL3 π3 − 4 H−1 + 2 kL π ω2 L
                                  2


Таким образом, из (9.4) получаем
                        tω   Sec@ωD Sin@x ωD                      − tω   Sec@ωD Sin@x ωD
u[x,t]=−                        2ω                      +                   2ω             -

‚ II8           H−1Lk        H−                                    + kL π xDM ë
 ∞
                                     1                        1
                                         +kL π t

           HH−1 + 2 kL                 − 4 H−1 + 2 kL π           ω2 L
                                     2             ω Sin@H−   2                     =
k=1                              3

          I8 H−1Lk −                                                 + kL π xDM ë
                                     π3                               −
                                     H− +kL π t ω Sin@H−
                                          1                       1

           HH−1 + 2 kL3 π3 − 4 H−1 + 2 kL π                       ω2 LM
                                          2
                                                                  2


 Sec@ωD Sin@t ωD Sin@x ωD

+‚ H2 H−1Lk ω Sin@Hk − 12 L π tD Sin@H k − 12 L π xDL ê
  ∞
            ω


 k=1 HHk − 1 ê 2L ∗ π ∗ HHk − 1 ê 2L2 π2 − ω2 LL
                                                                                                      (9.5)


   Последнюю формулу, представляющую решение в виде ряда, можно
считать окончательной. Для построения графика решения u[x,t] задачи
можно ограничиться конечным числом слагаемых в сумме (9.5). Введём
обозначение

Страницы