Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

По формуле (4.1)
f[t]=
1

2 π
‡
b
−∞
b+
∞
F@pD
pt
p, b>a
Однако, учитывая (7.2), можно также записать
f[t]=
1

2 π
lim
n→∞
‡
b
−R
n
b
+
R
n
F@pD
pt
p=
1

2 π
lim
n→∞
‡
γ
R
n
F@pD
pt
p
С другой стороны,
‡
γ
R
n
F@pD
pt
p=
‚
p
k
Res
p
k
@F@pD
pt
D,
где сумма берётся по всем полюсам p
k
функции F[p], находящимся
внутри контура g
R
n
. Переходя к пределу при n
ض
, получаем требуемое
р
авенство (7.1).
Замечание. В пакете Mathematica формула (7.1) записывается в виде
f[t]=
⁄
k
Residue@
F
@
p
D
t
, 8
p
,
p
k
<D (7.1)
Следствие. Пусть F@pD=
R@pD
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
Q@pD
, где R@pDи Q@pD - многочлены
Hне имеющие общих нулейL, причём степень R@pDстрого меньше
степени Q@pD. Т огда F@pD удовлетворяет условиям второй теоремы
раложения. Если обозначить различные корни знаменателя
p
1,
p
2,
p
3,
... p
l,
, а через m
1
, m
2
, m
3
, ... m
l
- их кратности соответственно, то по формуле H7.1L ипоправилам
нахождения вычетов
f@tD =
‚
p
k
Res
p
k
A
R@
p
D

Q@pD
pt
E =
‚
k=1
l
1

Hm
k
− 1L!
∗
∂
m
k
−1

∂
p
m
k
−1
A
R@pD∗
pt

Q@pD
∗ Hp − p
k
L
m
k
E
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
p=p
k
H7.3L,
В частности, если все корни знаменателя простые, то формула H7.3L
приобретает более простой вид
f@tD =
‚
p
k
Res
p
k
A
R@pD

Q@pD
pt
E =
‚
k=1
l
R@p
k
D∗
p
k
t

Q '@p
k
D
Пример на применение второй теоремы разложения. Найти
оригинал f[t] по её изображению F[p]=
p
2
+5
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
H
p
+2L
2
*H
p
-1L
. Знаменатель
22
                                                         22



По формуле (4.1)

                                                         ‡
                                                              b+ ∞
                                                1                                pt
                                 f[t]=         2π                      F@pD             p, b>a
                                                             b− ∞

   Однако, учитывая (7.2), можно также записать

                  limn→∞ ‡                                                  limn→∞ ‡
                                 b+ R n
              1                                          pt             1                           pt
 f[t]=       2π
                                          F@pD                    p=   2π
                                                                                             F@pD        p
                                 b− R n                                                γRn
   С другой стороны,
         ‡      F@pD        pt
                                  p=‚          Res
                                                p
                                                  @F@pD                 p t D,
          γRn                             pk        k


 где сумма берётся по всем полюсам pk функции F[p], находящимся
внутри контура gRn . Переходя к пределу при nض, получаем требуемое
равенство (7.1).
    Замечание. В пакете Mathematica формула (7.1) записывается в виде

                       f[t]=⁄ pk Residue@F @pD                          p t,   8p, pk

Страницы