Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пусть далее pœÂ и Rep>0. Для определённости будем считать p=r‰
Âj
,
0 <j<
p
Å
Å
Å
Å
2
(случай -
p
Å
Å
Å
Å
2
<j<0 рассматривается аналогично). Положим
s=t*‰
-Âj
êr, 0<t<. Легко прверяется, что p*s=t - положительное число.
Далее имеем
Γ[1-β]=lim
∂→0
‡
∂
r
∞
t
−β
∗
−pt
t =lim
∂→0
Ÿ
∂
r
∞
HpsL
−β
∗
−HpsL
HpsL=
p
1−β
*lim
∂→0
Ÿ
γ@∂,∞D
∞
s
−β
∗
−p s
s, (5.2)
где g[,R]-отрезок луча r*‰
-Âj
, §r<R. Построим замкнутый контур
G[,R] (см. рис.5.1). По теореме Коши
Ÿ
Γ@∂,RD
s
−β
∗
−ps
s = 0 (5.3)
Оценим интеграл по дуге G[R] окружности радиуса R
y=arg[s]œ(-j<y<0)
»
Ÿ
Γ@RD
s
−β
∗
−ps
s
…
≤»
‡
−
ϕ
0
HR
ψ
L
−β
∗
−p HR
ψ
L
HR
ψ
L
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
≤
R
1−β
‡
−
ϕ
0
−
r
R Cos@ϕ+ψD
ψ≤ R
1−β
−
r
R Cos@ϕD
→0 при R→∞
Аналогично доказывается
»
Ÿ
Γ@∂D
s
−β
∗
−ps
s
…
→0 при ∂→0
Переходя к пределу при Rض, Ø0 в равенстве (5.3), получаем
0=lim
∂→0 R→∞
Ÿ
Γ@∂,RD
s
−β
∗
−
s
s=lim
∂→0
Ÿ
γ@∂,∞D
∞
s
−β
∗
−p s
s-
lim
∂→0
‡
∂
r
∞
t
−β
∗
−pt
t
Отсюда и из (5.2) окончательно устанавливаем (5.1).
Лекция 3
В начале лекции мы приведём доказательство леммы Жордана, а также
несколько эквивалентных формулировок этой леммы.
16
                                                    16




Пусть далее pœÂ и Rep>0. Для определённости будем считать p=r ‰ Âj ,
0 < j < ÅÅÅÅp2 (случай - ÅÅÅÅp2

Страницы