Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x24@t_D = First@Simplify@ComplexExpand@
InverseLaplaceTransform@8X24@pD, Y24@pD<,p,tDDDD
y24@t_D = Last@Simplify@ComplexExpand@
InverseLaplaceTransform@8X24@pD, Y24@pD<,p,tDDDD
1

80
H−20 − 131
−2t
− 20
−t
− 20
t
+ 71
2t
− 20 t + 40 Cos@tD + 16 Sin@tDL
1

240
H393
−2t
+ 40
−t
+ 71
2t
− 60 t − 24 Cos@tD + 24 Sin@tDL
Проведём проверку построенного решения {x24[t], y24[t]} с помощью
введённой выше функции l2.
l2@b411, b412, b421, b422, f41, f42, x40, y40, x24, y24D
80, 0, 0, 0<
Таким образом, найденные функции {x24[t], y24[t]} действительно
представляют решение задачи, которое можно проиллюстрировать
графиком на плоскости {x,y}.
ParametricPlot@8x24@tD, y24@tD<, 8t, 0, 1<, PlotRange → AllD
-1 1 2 3 4 5
1.4
1.6
1.8
2.2
2.5. По известному закону механики движение частицы описывается
уравнением m x''[t]ã-k x[t]-r x'[t]. В нашем случае k=m и r=2m и поэтому
mx''@tD −kx@tD − rx'@tDê. 8k → m, r → 2 ∗ m<
mx

@tD == −mx@tD − 2mx
@tD
После сокращения на m приходим к уравнению
eqv25 := x''@tD −x@tD − 2 ∗ x'@tD
Кроме того, к уравнению eq25 следует присоединить начальные условия
8x@0D x
0
= 1, x '@0D v
0
= 0<
Применим к уравнению eq25 преобразование Лапласа. Учитывая
начальные условия, находим
55
                                                         55


x24@t_D = First@Simplify@ComplexExpand@
    InverseLaplaceTransform@8X24@pD, Y24@pD<, p, tDDDD
y24@t_D = Last@Simplify@ComplexExpand@
    InverseLaplaceTransform@8X24@pD, Y24@pD<, p, tDDDD

   H−20 − 131
1                   −2 t                −t           t            2t
                           − 20              − 20        + 71          − 20 t + 40 Cos@tD + 16 Sin@tDL
80

    H393
 1          −2 t              −t              2t
                   + 40            + 71            − 60 t − 24 Cos@tD + 24 Sin@tDL
240

Проведём проверку построенного решения {x24[t], y24[t]} с помощью
введённой выше функции l2.
l2@b411, b412, b421, b422, f41, f42, x40, y40, x24, y24D
80, 0, 0, 0<

Таким образом, найденные функции {x24[t], y24[t]} действительно
представляют решение задачи, которое можно проиллюстрировать
графиком на плоскости {x,y}.
ParametricPlot@8x24@tD, y24@tD<, 8t, 0, 1<, PlotRange → AllD
                        2.2


                   -1               1         2      3        4    5

                        1.8

                        1.6

                        1.4



  2.5. По известному закону механики движение частицы описывается
уравнением m x''[t]ã-k x[t]-r x'[t]. В нашем случае k=m и r=2m и поэтому
m x ''@tD   −k x@tD − r x '@tD ê. 8k → m, r → 2 ∗ m<
m x @tD == −m x@tD − 2 m x @tD

После сокращения на m приходим к уравнению
eqv25 := x ''@tD           −x@tD − 2 ∗ x '@tD

Кроме того, к уравнению eq25 следует присоединить начальные условия

8x@0D   x0 = 1, x '@0D              v0 = 0<

Применим к уравнению eq25 преобразование Лапласа.                                      Учитывая
начальные условия, находим

Страницы