Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

В представлении функции y23[t] использована спецфункция
PolyLog@2, -‰
t
D =
Ÿ
-‰
t
0
Log@1-yD
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
y
„ y. Поскольку эта функция зависит от
вещественного аргумента, а всё выражение не содержит комплексных
переменных, то использование такого представления вполне допусимо.
Проведём проверку построенного решения
l@a230, a231, a232, f23, v230, v231, y23D
80, 0, 0<
Последнее означает, что y23[t] действительно является решением задачи.
2.4. Вначале введём данные задачи
9b411 = 1, b412 = 3, b421 = 1, b422 =−1, f41@t_D = t − Sin@tD,
f42@t_D =
1

2
∗ HCosh@tD − Cos@tDL, x40 =−1, y40 = 2=;
и функции реализации
eq2@b11_, b12_, b21_, b22_D :=
8#1
@tD − b11 ∗ #1@tD − b12 ∗ #2@tD,#2
@tD − b21 ∗ #1@tD − b22 ∗ #2@tD< &
m2@b11_, b12_, b21_, b22_, f1_, f2_, x0_, y0_D :=
Flatten@Solve@LaplaceTransform@
eq2@b11, b12, b21, b22D@x, yD 8f1@tD,f2@tD<,t,pDê.
8LaplaceTransform@x@tD,t,pD → X, LaplaceTransform@
y@tD,t,pD −> Y, x@0D → x0, y@0D → y0<, 8X, Y<DD
l2@b11_, b12_, b21_, b22_, f1_, f2_, x0_, y0_, x2_, y2_D :=
Simplify@8eq2@b11, b12, b21, b22D@x2, y2D@@1DD − f1@tD,
eq2@b11, b12, b21, b22D@x2, y2D@@2DD − f2@tD,
x2@0D − x0, y2@0D − y0<D
После этого с помощью функции реализации найдём преобразования
Лапласа компонент искомого решения
8X24@pD, Y24@pD< =
8X, Y<ê.m2@b411, b412, b421, b422, f41, f42, x40, y40D
9−
1 + p + 4p
2
− 5p
3
− 5p
6
+ p
7

p
2
H−4 + p
2
LH−1 + p
2
LH1 + p
2
L
, −
−1 − p + 3p
2
+ p
4
+ p
5
− 2p
6

p
2
H1 + pLH−4 + p
2
LH1 + p
2
L
=
Применение обратного преобразования Лапласа позволяет получить
р
ешение исходной задачи.
54
                                        54



     В представлении функции y23[t] использована спецфункция
PolyLog@2, -‰t D = Ÿ-‰t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
                     0 Log@1-yD
                                y
                                      ÅÅÅÅÅ „ y . Поскольку эта функция зависит от
вещественного аргумента, а всё выражение не содержит комплексных
переменных, то использование такого представления вполне допусимо.
  Проведём проверку построенного решения
l@a230, a231, a232, f23, v230, v231, y23D
80, 0, 0<

Последнее означает, что y23[t] действительно является решением задачи.

 2.4. Вначале введём данные задачи
9b411 = 1, b412 = 3, b421 = 1, b422 = −1, f41@t_D = t − Sin@tD,

               ∗ HCosh@tD − Cos@tDL, x40 = −1, y40 = 2=;
             1
  f42@t_D =
             2

и функции реализации
eq2@b11_, b12_, b21_, b22_D :=
 8#1 @tD − b11 ∗ #1@tD − b12 ∗ #2@tD, #2 @tD − b21 ∗ #1@tD − b22 ∗ #2@tD< &
m2@b11_, b12_, b21_, b22_, f1_, f2_, x0_, y0_D :=
 Flatten@Solve@LaplaceTransform@
     eq2@b11, b12, b21, b22D@x, yD 8f1@tD, f2@tD<, t, pD ê.
    8LaplaceTransform@x@tD, t, pD → X, LaplaceTransform@
       y@tD, t, pD −> Y, x@0D → x0, y@0D → y0<, 8X, Y

Страницы