Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 37 стр.

                                             37


      Физический смысл частоты Вейселя-Брента

     Рассмотрим элементарный объём V покоящейся стратифицированной
жидкости (распределение плотности по закону ρ =ρ0 ( x3 ) ) с центром в
точке (0,0, x3 ) . На объём V действует сила тяжести −ρ0 ( x3 )Vg и равная ей,
но обратная по величине сила выталкивания (так как объём V покоится), то
есть выталкивающая сила Архимеда.
Сместим эту частицу (элементарный объём жидкости V ) на ς по оси Ox3 .
      После смещения на ς объём V и масса частицы сохранятся. В
результате на частицу будет действовать сила
F =−g ρ0 ( x3 )V +g ρ0 ( x3 +ς)V
     14 2 43      1 44 2 4 43
          ↓               ↓

          вес                                                         ρ0 =ρ0 ( x3 +ς) .
                   сила Архимеда, равная весу вытесненной жидкости, поэтому

Разложим ρ0 ( x3 +ς) в ряд Тейлора, ограничиваясь нулевым и первым
членами ρ0 ( x3 +ς) ≅ρ0 ( x3 ) +ρ0′ ( x3 )ς . Отсюда
                                                                   ρ′ ( x )
       F =−g ρ0 ( x3 )V +g ρ0 ( x3 )V +g ρ0′ ( x3 )ςV =ρ0 ( x3 ) gV 0 3 ς =
                                                                   ρ0 ( x3 )
                                                                              .
                          � ρ0′ ( x3� )
                      =m � g         � ς =−mω0 ( x3 )ς
                                                   2

                           � ρ0 ( x3� )
Таким образом, сила, «возвращающая» частицу жидкости «на место» после
её смещения на ς вверх или вниз в стратифицированной жидкости,
пропорциональна ω02 ( x3 ) - квадрату частоты Вейселя-Брента.
     Замечание.      Часто в литературе исследуется система (37) при
λ =µ =0 , то есть рассматривается невязкая среда. Колебания жидкости,
описываемые такой системой уравнений принято называть внутренними
гравитационными волнами.               Если система, описывающая невязкую
стратифицированную жидкость, исследуется во вращающейся системе
координат, то есть имеет вид
                  ∂ν
              ρ0     +ρ0 (α ×ν ) +∇ p +ρ1 ge3 =0,
                  ∂t
                                                                      (40)
              ∂ρ1                              −1
                   −ω0 ( x3 )(e3ν ) ρ0 ( x3 ) g =0, divν =0,
                      2

               ∂t
она называется системой уравнений, описывающей внутренние
гравитационно-гироскопические волны.
     Замечание. Приближения, приводящие к системам уравнений (37),
либо (40) не являются единственным упрощением, используемым при