Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 35 стр.

                                          35


системы координат с постоянной угловой скоростью ω. Скорости в системе
координат наблюдателя x и в x′ системе пересчитываются по формуле
теоремы Эйлера ν =ν ′ +ω ×r ′
    dν dν ′ d              dν ′      dr′ dν ′
и       =   + (ω ×r ′) =        +ω × =         +ω ×ν ′ , то есть в уравнениях
     dt   dt dt             dt       dt     dt
появляется член ω ×v′ , чем и ограничиваются отличия.                Итак, во
вращающейся системе координат системы уравнений (29), (32), (36)
принимают вид
               dν ′             µ       (λ +µ)           1
                    +ω ×ν ′ − ∆ν ′ −           ∇ divν + ∇ p =F .          (29')
                dt              ρ          ρ             ρ
                    dν ′
                         +ω ×ν ′ −υ∆ν ′ +∇ p =F ; divν =0 .               (32')
                     dt
             ∂ν                                          ∂p
                  −υ∆ν +ω ×ν −υβ∇ divν = f ; α 2             +divν =0 .   (36')
              ∂t                                          ∂t

      Стратифицированные жидкости

      Предположим, что жидкость стратифицирована по оси x3 , то есть в
стационарном состоянии её плотность является функцией лишь                          x3 :
ρ0 =ρ0 ( x3 ) . Малые колебания этой жидкости принято вписывать следующей
системой уравнений
                        �                   ∂ν
                          �             ρ       −µ∆ν +∇ p +e3 g ρ1 =0;
                                             ∂t
                                          0
                            �
                              � ∂
                               �            ρ1 −ω02 ( x3 )(e3ν ) ρ0 ( x3 ) g −1 =0; (37)
                                 �      ∂t
                                   � divν =0.
                                    �
                                      �
Здесь ν ( x, t ) =(ν1 ,ν 2 ,ν 3 ) - вектор скорости частицы жидкости; ρ1 ( x, t ) -
изменение плотности, вызванное движениями жидкости; p - динамическое
давление; e3 - орт оси Ox3 ; g - ускорение свободного падения. Через ω02 ( x3 )
обозначен квадрат так называемой частоты Вейселя-Брента, определяемый
                      g ρ′ ( x )
формулой ω02 ( x3 ) =− 0 3 . Частота Вейселя-Брента, как будет ясно из
                       ρ0 ( x3 )
дальнейшего, является важнейшей характеристикой динамических свойств
стратифицированной жидкости. При записи уравнений (37), что