Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 33 стр.

                                                33


           d              ∂             3
                                            ∂u
w( x, t ) = (ν ( x, t )) = u ( x, t ) +∑        uk ,   отбросим члены      квадратичного
           dt             ∂t           k =1 ∂xk
                         3
                               ∂u
порядка малости         ∑ ∂x
                        k =1
                                    uk . Система уравнений (32) принимает вид
                                k

                               ∂u
                                  −υ∆u +∇ p = f ;       div u =0 .                     (33)
                               ∂t

       Сжимаемые жидкости

Для описания движения сжимаемых жидкостей, то есть при отказе от
условия несжимаемости div u =0 добавляется так называемое уравнение
состояния, связывающее значения давления и плотности           p = f ( ρ) .
Возможно, в это выражение входят и иные характеристики среды (например,
температура T , как в уравнении Менделеева-Клапейрона         pV =µρT ,
которое также можно считать уравнением состояния).
  Сделаем следующие допущения, обусловленные экспериментом.
   1. Процесс распространения колебаний в жидкости (обычно, звуковых)
      является адиабатическим, то есть уравнением состояния является
      функциональная зависимость, называемая адиабатой Пуассона
                    γ
         p � ρ�          c
             =� � ; γ = p , где ρ0 и p0 - стационарные плотность и давление,
        p0 � ρ� 0        cυ
        c p и cυ - теплоёмкости жидкости при постоянном давлении и объёме.
   2. Колебания жидкости малы, то есть можно использовать
      линеаризованные уравнения.
  Назовём относительным акустическим уплотнением (для газа –
                                    ρ( x, t ) −ρ0
конденсацией) величину S ( x, t ) =               , ρ =ρ0 (1 +s ) . С целью
                                         ρ0
                                                              1 1
линеаризации уравнений (29), заметим, что                      = +O( s ) и величины
                                                              ρ ρ0
O( s)∇ divν и O( s)∇ p при линеаризации следует отбросить (здесь мы учли,
что p = p0 (1 +s )γ = p0 (1 +γs +O( s 2 )) и    O ( s )∇ p =O ( s )∇ (γs +O ( s 2 ))   при
линеаризации отбрасываются). Итак, уравнения (29) переходят в
                    ∂ν µ          (λ +µ)                1
                       − ∆ν −              ∇ divν + ∇ p = f .                          (34)
                    ∂t ρ0             ρ0               ρ0