Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 32 стр.

                                                      32


                               4. Упрощающие предположения

        Вязкая несжимаемая жидкость.

В этом случае divν =0 и система уравнений (29) принимает вид
                           dν µ        1
                              − ∆ν + ∇ p =F .                    (30)
                           dt ρ        ρ
Система уравнений (30), в совокупности с уравнением несжимаемости
                                                      dρ
divν =0 и следствием уравнения неразрывности              =0 (то есть
                                                      dt
∂ρ ∂ρ        ∂ρ    ∂ρ
    + ν1 + ν 2 + ν 3 =0 ), составляет замкнутую систему из пяти
 ∂t ∂x1     ∂x2    ∂x3
уравнений с пятью неизвестными. Если предположить, что плотность
жидкости постоянна, ρ( x, t ) =ρ0 =const , то вышеописанная система
уравнений принимает следующий вид
                  dν µ          1
                      − ∆ν + ∇ p =F ; divν =0 .                 (31)
                  dt ρ0        ρ0
В уравнениях (31) принято вместо кинематического коэффициента вязкости
                                                   µ
µ вводить динамический коэффициент вязкости υ = , а вместо давления
                                                  ρ0
p (одной из компонент искомого решения) так называемое «эффективное
                p
давление» pэф =    , сохраняя, впрочем, за ним обозначение p . Итак,
                ρ0
окончательно уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости с
постоянной плотностью приобретают следующий вид
                        dν
                           −υ∆ν +∇ p =F ; divν =0 .             (32)
                        dt

        Линеаризация уравнений (32)

Предположим, что движение жидкости, удовлетворяющее уравнениям (32),
происходит    вблизи    положения       равновесия,       характеризуемого
стационарными: скоростью ν 0 ( x) ≡0 , давлением p 0 ( x) , внешней силой
F 0 ( x) .   Введём        в    рассмотрение           отклонения          исходных         функций         от
равновесных: u ( x, t ) =ν ( x, t ) ; q ( x, t ) = p ( x, t ) − p 0 ( x) ; f ( x, t ) =F ( x, t ) −F 0 ( x ) . В
выражении         отклонения                     ускорения                 частицы                жидкости