Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 30 стр.

                                            30


           τy 22 −τy11 1
    τx 21 =           = ( B2211e11 +B2222 e22 +B2233 e33 −B1111e11 −B1122 e22 −B1133 e33 ) =
                 2     2
     1
  = (λe11 +(2µ +λ )e22 +λe33 −( 2µ +λ )e11 −λe22 −λe33 ) =−µe11 +µe22 . (H)
     2
Из (G) и (H) в силу произвольности e11 и e22 : B2121 =µ .
Таким образом: Bkkkk =2 µ +λ; Bkkjj =λ           (k ≠ j )   ; Bkjkj =Bkjjk =µ (k ≠ j ) .
Следовательно
τ11 =(2µ +λ )e11 +λe22 +λe33 =λ (e11 +e22 +e33 ) +2µe11 ;
τ22 =λe11 +(2µ +λ)e22 +λe33 =λ (e11 +e22 +e33 ) +2µe22 ;
                                                                    ,
τ33 =λe11 +λe22 +(2µ +λ)e33 =λ (e11 +e22 +e33 ) +2µe33 ;
τ21 =τ12 =µe12 +µe21 =2µe12 =2µe21 ,
    аналогично τkj =2 µekj , k ≠ j .
         Вспомним представления элементов ekj тензора скоростей деформаций
�      1 � ∂vk ∂v� j �
� ekj = ��        + � � , имеем закон Навье – Стокса для изотропной жидкости:
 �
   �   2   � ∂x j  ∂xk�� ��
                    r       ∂v
       τkk =λ div v +2 µ k , k =1,2,3.
                            ∂xk
            � ∂Vk ∂V� j
     τkj =µ �       +       , k ≠ j ; k , j =1,3 .
              � ∂x j ∂xk��
               �          �
     Закон Навье-Стокса для изотропной среды с учетом вязкости позволяет
записать (27) в виде
                    r     ∂v                      � ∂vk ∂v� j
    p ii =−p +λ div v +2 µ i , i =1, 2,3; p kj =µ �        + � , k ≠ j; k , j =1,3. (28)
                          ∂xi                       � ∂x    ∂xk��
                                                     �   j

                                                                           ∂p1 ∂p 2 ∂p 3
         С        учетом     соотношений         (28)   выражение             +    +     ,
                                                                           ∂x1 ∂x2 ∂x3
фигурирующее           в уравнениях (19) возможно преобразовать следующим
образом