Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 31 стр.

                                                                           31


                                                                                                 �       r    ∂v1 �
                                                                                            � λ div v +2 µ        −� p
                                                                                             �                ∂x    �
                  � p11�     � � p 21                      �      �        p31                                  1

              ∂ � 12�       �∂ �                           �     �∂                    ∂       �          ∂v ∂v �
                   �  p � + � � p 22                       � +∂� x         p 32      = �               µ( 1 + 2 ) � +
             ∂x1 � 13�     ∂� x2 � 23                       � � 3                     ∂x1 �               ∂x2 ∂x1 �
                       p
                     � �      � � p                          � �           p 33
                                                                                                 �        ∂v ∂v �
                                                                                                   �   µ( 1 + 3 ) �
                                                                                                     �    ∂x3 ∂x1 �
                            �     � ∂v               ∂v�       �                            �                           � ∂v     ∂v�     �
                                µ � 2 + �1
                                �                                            �                �                   µ� 3 + 1 � �
                     �             � ∂x1 ∂x�2                    �                              �                      � ∂x1 ∂x�3 �
                                                                                                  �                                        �
                ∂ �                   r              ∂v            �                   ∂                             � ∂v        ∂v�
              + � λdiv v +2µ 2 −� p + �                                                                           µ � 3 + �2 � =
               ∂x2 �                                 ∂x2 �                            ∂x3 �                           � ∂x2 ∂x�3 �
                       �                                             �                              �                                        �
                         �          � ∂v2 ∂v�3                         �                              �                  r       ∂v3 �
                                µ�        + �                                                                λ div v +2µ              −p
                           ��         ∂ x            ∂x                  �                              �                        ∂ x           �
                                     � 3                �2                 �                              �                         3
                                                                                                                                                 �
                                          � ∂ v1           2
                                                                                 ∂ v2
                                                                                    2
                                                                                                              ∂v2
                                                                                                                             ∂ v3
                                                                                                                              2
                                                                                                                                      ∂v �
                                                                                                                                        2

                                           � 2 2 +                                        + 21 +                                     + 21 �
                                            � ∂x1                               ∂x1∂x2 ∂x2                                  ∂x1∂x3 ∂x3 �
                              r              � ∂2 v                             ∂ 2 v2                        ∂ 2 v2         ∂2 v3     ∂ 2 v2 �
             =λ∇ div v −∇ p +µ �                             1
                                                               + 2 +2 2 +                                                            +             � =
                                              � ∂x1∂x2 ∂x1                                                    ∂x2           ∂x2 ∂x3 ∂x32 �
                                               � ∂2 v                           ∂2v                          ∂ 2 v2         ∂2 v      ∂2 v �
                                                �            1
                                                                               + 23 +                                      + 23 +2 23 �
                                                  �� ∂x1∂x3 ∂x1                                             ∂x2 ∂x3 ∂x2                ∂x3 ��
                           � � ∂v1 ∂v2 ∂v� 3 �
                            � �                 +     + � �
                             � � 1         ∂ x   ∂ x2   ∂x� 3 �
           r         r        � � ∂v ∂v                 ∂v� 3 ��      r               r
   =λ∇ div v −∇ p +µ∆v + µ     �         �
                                              1
                                                +   2
                                                      + �          =µ∆v +(λ +µ )∇ div v −∇ p .
                                 � � ∂x1 ∂x2 ∂x� 3 �
                                  �                              �
                                    � � ∂v1 ∂v2 ∂v� 3 �
                                     � � ∂x +∂x +∂x� �
                                      � � 1         2     �3 �
     С учетом последних выкладок систему уравнений (19) для вязкой
изотропной жидкости можно переписать в следующем виде
                  r
                 dv µ r (λ +µ )                       r 1
                    − ∆v −                      ∇ div v + ∇ p =F .                       (29)
                 dt ρ                      ρ              ρ
Система уравнений (29) называется системой уравнений Навье-Стокса и
описывает движение вязкой изотропной жидкости при самых общих
предположениях.