ВУЗ:
Составители:
36
распределение плотности жидкости
03
()
x
ρ
удовлетворяет естественному
физическому условию «устойчивости стратификации»:
03
()0
x
ρ
′
≤
.
Выведем систему уравнений (37) из системы уравнений (33) и из
уравнений неразрывности среды (12) и несжимаемости
div0
ν
=
.
Вначале запишем систему трех уравнений:
031
()div0
d
peg
dt
ν
ρµνλµνρ
−∆−+∇+∇+=
, (38)
которая получается из системы уравнений (33) после того, как в ней внешняя
сила
F
взята равной
3
(,)
Fegxt
ρ
=−
, то есть внешняя сила – сила тяжести.
Проведём линеаризацию системы (33) вблизи положения
покоя
03
(,)()
pxtpx
=
,
03
(,)()
xtx
ρρ
=
,
(,)0
xt
ν
=
,
303
()
Fegx
ρ
=−
. Положим
103
(,)(,)()
pxtpxtpx
=−
,
103
(,)(,)()
xtxtx
ρρρ
=−
и предположим, что
компоненты решения
1
(,)
pxt
,
1
(,)
xt
ρ
и
(,)
xt
ν
достаточно малы .
Имеем из (33):
0
0113031
3
()(()div)0
p
pegeg
tx
ν
ρρµνλµνρρ
∂
∂
+−∆++∇+∇+++=
∂∂
.
Условия согласования стационарных давления и плотности:
0
0
3
0
dp
g
dx
ρ
+=
(так называемое «уравнение гидростатики»). Учитывая условие
согласования , линеаризуем последнюю систему. Получаем систему (38).
Выведем уравнение
21
103303
()()()0
xexg
t
ρωνρ
−
∂
−=
∂
. (39)
Из уравнения (12) имеем
031031
(()(,))div[(()(,))(,)]0
xxtxxtxt
t
ρρρρν
∂
+++=
∂
;
[]
0
13112131031
3123
()(,)div0
xxt
txxxx
ρ
ρννρνρνρρρν
∂
∂∂∂∂
++++++=
∂∂∂∂∂
.
Учитывая уравнение несжимаемости
div0
ν
=
, и отбрасывая
члены
квадратичной малости
111
123
123
;;
xxx
ρρρ
ννν
∂∂∂
∂∂∂
, имеем
1
033
()0
x
t
ρ
ρν
∂
′
+=
∂
,
откуда
1
103
303
03
()
()0
()
x
gxg
tx
ρρ
νρ
ρ
−
′
∂
−−=
∂
, или
21
1
030
()0
eg
t
ρ
ωνρ
−
∂
−=
∂
.
36
распределение плотности жидкости ρ0 ( x3 )
удовлетворяет естественному
физическому условию «устойчивости стратификации»: ρ0′ ( x3 ) ≤0 .
Выведем систему уравнений (37) из системы уравнений (33) и из
уравнений неразрывности среды (12) и несжимаемости divν =0 .
Вначале запишем систему трех уравнений:
dν
ρ0 −µ∆ν −(λ +µ)∇ divν +∇ p +e3 g ρ1 =0 , (38)
dt
которая получается из системы уравнений (33) после того, как в ней внешняя
сила F взята равной F =−e3 g ρ( x, t ) , то есть внешняя сила – сила тяжести.
Проведём линеаризацию системы (33) вблизи положения
покоя p( x, t ) = p0 ( x3 ) , ρ( x, t ) =ρ0 ( x3 ) , ν ( x, t ) =0 , F =−e3 g ρ0 ( x3 ) . Положим
p1 ( x, t ) = p( x, t ) −p0 ( x3 ) , ρ1 ( x, t ) =ρ( x, t ) −ρ0 ( x3 ) и предположим, что
компоненты решения p1 ( x, t ) , ρ1 ( x, t ) и ν ( x, t ) достаточно малы.
Имеем из (33):
∂ν � ∂p0 �
( ρ0 +ρ1 ) −( µ∆ν +(λ +µ)∇ divν ) +∇ p1 +e3 � +g ρ� 0 +e3 ρ1 g =0 .
∂t � ∂x3 �
dp0
Условия согласования стационарных давления и плотности: +g ρ0 =0
dx3
(так называемое «уравнение гидростатики»). Учитывая условие
согласования, линеаризуем последнюю систему. Получаем систему (38).
Выведем уравнение
∂
ρ1 −ω02 ( x3 )(e3ν ) ρ0 ( x3 ) g −1 =0 . (39)
∂t
Из уравнения (12) имеем
∂
( ρ0 ( x3 ) +ρ1 ( x, t )) +div[(ρ0 ( x3 ) +ρ1 ( x, t ))ν ( x , t )] =0 ;
∂t
∂ � ∂ρ0 ∂ ∂ ∂ �
ρ1 +� ν 3 +ν1 ρ1 +ν 2 ρ1 +ν 3 ρ1 � +[ρ0 ( x3 ) +ρ1 ( x, t ) ]divν =0 .
∂t � ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 �
Учитывая уравнение несжимаемости divν =0 , и отбрасывая
члены
∂ρ1 ∂ρ ∂ρ ∂ρ1
квадратичной малости ν1 ;ν 2 1 ;ν 3 1 , имеем +ρ0′ ( x3 )ν 3 =0 ,
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂t
∂ρ1 � ρ0′ ( x3 ) � ∂ρ1
откуда −� − g� ν 3 ρ0 ( x3 ) g −1 =0 , или −ω02 (e3ν ) ρ0 g −1 =0 .
∂t � ρ0 ( x3 ) � ∂t
