Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 4 стр.

                                                  4


касательная составляющая обозначается τ.
      На трех площадках, нормальных к трем осям, имеют место равенства
                   X x =σ x ;   Yx =τxy ;      Z x =τzx
                       X y =τxy ;           Yy =σ y ;            Z y =τzy
                       X z =τxz ;            Yz =τyz ;          Z z =σ z


            Законы парности касательных напряжений
     Ниже докажем, что τxy =τyx ;τxz =τzx ;τzy =τyz . В силу произвольности
обозначений осей, нам достаточно доказать лишь одно из этих равенств:
τxz =τzx . Выделим из объема сплошной среды, находящегося под действием
внешних сил, бесконечно малый параллелепипед с ребрами длиной
dx, dy, dz , параллельными осям координат.


                       z                       ∂σ                      τxy
                                          σ z + z dz                                           σy
                                                ∂z
            τ yz
                               dz
    σx                                                                               τzy
                                ∂τ              ∂τ
                           τyz + yz dz     τxz + xz dz
                                 ∂z              ∂z
           τzx
                                                                       ∂τ
                                                                  τzx + zx dx
                                         ∂τ                             ∂x
                                    τzy + zy dy                                         ∂σ
                                          ∂y                                       σ x + x dx
                       ∂σ                                                                ∂x
                  σ y + y dy                                        ∂τ
                        ∂y               ∂τ                    τyx + yx dx
                                    τxy + xy dy                      ∂x                    x
                                          ∂y


                                                                                     Рис.2

                 dy                                                          τyz
                                                         τxz
             y                                                    σz



      На каждой грани имеем три составляющих напряжения, параллельных
осям. Например, если на грани dydz действует нормальное напряжение σ x ,
то на противоположной грани, находящейся на отдалении dx от нее,