Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 6 стр.

                                               6


     τxy dzdx                 Задняя ⊥ Oy                dz
                                                         2
                                                         dx
     τzy dzdy                 Задняя ⊥ Oy
                                                         2
     �      ∂τzy �
     � τzy +    dy� dzdx
      �      ∂y �                                        dx
                              Передняя ⊥ Oy
                                                         2
         �      ∂τxy �                                   dz
         � τxy +    dy� dzdx Передняя ⊥ Oy
          �      ∂y    �                                 2



Уравнение моментов относительно оси Οy
                  dz 2 �          ∂σ �       dz 2�         ∂τ           �
              σ x dy   −� σ x + x dx� dy � + τzx + zx dx � dxdydz −
                   2 �             ∂x �        2�           ∂x        �
                 dx 2 dy �          ∂σ �       dx 2 �       ∂τ �
            −σ z         +� σ z + z dz� dy          −� τxz + xz dz� dxdydz +
                   2       �         ∂z �       2 �              ∂z �
          2
        dz dx         dxdydz �          ∂τzy � dx    2
                                                             �            ∂τxy � dz 2
   +τxy       −τzy            +� τzy +      dy�        dz −−� τxy +           dy�     dx =0 .
          2             2       �        ∂y �      2           �           ∂y �   2
Раскроем скобки
               ∂σ x dxdydz 2              ∂τzx 2          ∂σ z dx 2
            −                +τzx dxdydz +     dx dydz +            dydz −
                ∂x     2                   ∂x              ∂z 2
                        ∂τxz             ∂τzy dx 2       ∂τxy        dz 2
          −τxz dxdydz −      dxdydz ++
                                     2
                                                   dydz −      dxdy       =0 .
                         ∂z               ∂y 2            ∂y          2
В выражении встречаются члены 3-го и 4-го порядка малости, если оно равно
нулю, то равна нулю и его часть 3-го порядка малости, т.е.
τzx dxdydz −τzx dxdydz =0 или τxz =τzx , ч.т.д.

                         Напряжения на наклонных площадках

     Для исследования напряженного состояния во всех точках среды
необходимо уметь находить напряжения на любой площадке, наклонной к
координатным осям (т.е. в случае, когда нормаль ν не параллельна осям).
Пусть ν =1 и ν =(l , m, n ) , т.е. cos(ν , x ) =l ; cos(ν , y ) =m; cos(ν , z ) =n.