Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Для простоты и наглядности будем считать, что с целью определения
напряжения рассматривается площадка на плоскости
Π
с нормалью
ν
,
которая является основанием бесконечно малого тетраэдра , отсеченного
плоскостью
Π
от положительного октанта системы декартовых координат
xyz
Ο
. Обозначим его
(
)
abc
.
Обозначим
площадь
)
abc
через
dS
. Площади
остальных граней
определим как
площади проекций
)
abc
, т.е.
пл .
bcdSl
Ο=⋅
пл .
bcdSm
Ο=⋅
пл .
bcdSn
Ο=⋅
На рассматриваемый
тетраэдр действуют
силы :
поверхностные:
,
,,,
z
xyyx
dSldSmdSndSl
σσστ
,
,,,
zxxyzyxz
dSldSmdSmdSn
ττττ
,,,
yzvvv
dSnXdSYdSZdS
τ
внутренние (распределенные по объему тетраэдра с интенсивностью
(,,)
FXYZ
=
):
,,
dVYdVZdV
X
, т.к. тетраэдр неподвижен , проекции
результирующей на все оси равны нулю:
0
vxxyxz
XdSdSldSmdSnXdV
σττ
−−−+=
(на
x
Ο
)
0
vyyxyz
YdSdSmdSldSnYdV
σττ
−−−+=
(на
y
Ο
)
0
vzxzyz
ZdSdSndSndSmZdVσττ

=

−−−−+ (на
z
Ο
)
Последние слагаемые
,,
dVYdVZdV
X
имеют 3 порядок, следовательно, не
влияют на равенство нулю слагаемых второго порядка и могут быть
отброшены:
vxxyxz
Xlmn
σττ
=++
;
vyxyyz
Ylmn
τστ
=++
;
vzxzyz
Zlmn
ττσ
=++
z
σ
xz
τ
a
x
y
b
yx
τ
zx
τ
x
σ
z
c
xy
τ
zy
τ
y
σ
0
X
ν
Z
ν
Y
ν
yz
τ
Рис.3 
                                               7


       Для простоты и наглядности будем считать, что с целью определения
напряжения рассматривается площадка на плоскости Π с нормалью ν ,
которая является основанием бесконечно малого тетраэдра, отсеченного
плоскостью Π от положительного октанта системы декартовых координат
Οxyz . Обозначим его (abc ) .
     Обозначим
площадь (abc ) через
                                                        z
dS .             Площади                                                              σy
                                                        c
остальных          граней                                         τ xy
определим             как
                                             τyx     Zν                             τ zy
площади          проекций
(abc ) ,              т.е.      σx
                                                                   Xν
пл. Οbc =dS ⋅ l                          τzx            Yν
пл. Οbc =dS ⋅ m                                     0                                  a           x
пл. Οbc =dS ⋅ n
На рассматриваемый                                                            τyz
тетраэдр действуют                                          τxz
                                         b                                                 Рис.3
силы:                                y                                   σz
поверхностные:
σ xdSl, σ y dSm, σ z dSn, τyx dSl , τzx dSl, τxy dSm, τzy dSm, τxz dSn,
τyz dSn, X vdS , YvdS , Z vdS
внутренние        (распределенные по объему тетраэдра с интенсивностью
F =( X ,Y , Z ) ): XdV , YdV , ZdV , т.к. тетраэдр неподвижен, проекции
результирующей на все оси равны нулю:

                   X v dS −σ x dSl −τxy dSm −τxz dSn +XdV =0 (на Οx )

                   Yv dS −σ y dSm −τyx dSl −τyz dSn +YdV =0 (на Οy )


                  −�� Z v dS −σ z dSn −τxz dSn −τyz dSm +ZdV �� =0 (на Οz )
Последние слагаемые XdV , YdV , ZdV имеют 3 порядок, следовательно, не
влияют на равенство нулю слагаемых второго порядка и могут быть
отброшены: X v =σ xl +τxy m +τxz n ; Yv =τyx l +σ y m +τyz n ; Z v =τzxl +τzy m +σ z n

Страницы