Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 9 стр.

                                      9


     На рисунке изображены два ребра этого параллелепипеда:
до деформации - AB и AC (параллельные Ox и Oz , соответственно),
       после деформации - A' B ' и A'C ' . Длина AB есть dx , AC - dz .
После деформации т. A получила перемещение u , w . Как и при выводе
закона парности касательных напряжений, с точностью до дифференциалов
можем записать, что т. B и C переместятся в точки с координатами
                   B′(u +∂u dx; w +∂w dx) и C′ : (u +∂u dz; w +∂w dz) .
                          ∂x        ∂x               ∂z        ∂z
Имеем:
 A' B'' =(dx −u ) +u +∂u dx =dx +∂u dx - проекция A' B' на Οx ,
                       ∂x          ∂x
∆AB =A' B'' −AB =dx +∂u dx −dx =∂u dx - проекция абсолютного удлинения
                            ∂x         ∂x
ребра AB на Οx ,
εx =∆AB =∂u - относительное удлинение ребра AB вдоль оси Οx - так
     AB ∂x
называемая линейная деформация по направлению Οx .
     Аналогично
εy =∂v ; εz =∂w - линейные деформации по направлениям координатных
    ∂y       ∂z
осей Οy и Οz соответственно.
     Тангенс угла поворота ребра AB в плоскости xΟz равен
                        ' B'' w +∂w dx −w   ∂w      ∂w
                      B
                tgα1 = ' '' =    ∂x       = ∂x   = ∂x
                      AB           ∂u
                               dx + dx     1+ ∂u  1 +εx
                                   ∂x         ∂x
     При рассмотрении малых деформаций tgα1 ≈α1 и можно, кроме
того, пренебречь линейной деформацией εx по сравнению с 1 (так как
εx - это удлинение единичного отрезка).
                               ∂u
Имеем α1 =∂w . Аналогично α 2 = .
           ∂x                   ∂z
     Искажение прямого угла произошло на следующий «угол сдвига в
плоскости xΟz » («угловую деформацию в плоскости xΟz »).
                              γzx =α1 +α2 =∂w +∂u .
                                           ∂x ∂z
     Аналогично найдем угловые деформации в двух плоскостях:
                           γyx =∂v +∂u ; γyz =∂v +∂w .
                                ∂x ∂y         ∂z ∂y