Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 11 стр.

                                           11


находящейся в момент времени t в точке x . Для несжимаемой среды
∂V1 ∂V2 ∂V3
    +   +    =0 при любом t >0 или div V =0 .
∂x1 ∂x2 ∂x3

                                 3. Гидродинамика

Индивидуальная и местная производные по времени
      Значение скалярной характеристики частицы сплошной среды можно
задать двумя способами.
      1 способ (Лагранжа). В начальный момент времени t =t0 выбирается
частица с координатами (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) и в дальнейшем мы наблюдаем лишь за
ней, двигаясь вместе с ней. В этом случае характеристика (например,
температура TΛ частицы) есть функция TΛ =TΛ (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t ) . Ее производная
                  ∂TΛ
по времени это          .
                   ∂t
      2 способ (Эйлера). Наблюдатель, вообще говоря, не следует за
частицей в процессе ее движения, а может измерить температуру в точке
пространства x1 , x2 , x3 (т.е. температуру той частицы, которая в данный
момент попала в эту точку). Чтобы отслеживать температуру одной и той же
частицы в различные моменты, необходимо измерять T =TЭ в тех точках
пространства, в которые попала частица в каждый момент t , двигаясь по
своей траектории x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) , точнее, xi =xi (ξ1 , ξ2 , ξ3 , t ) .
Поэтому производная по t
есть                                                O1 ( x1 +dx1 , x2 +dx2 , x3 +dx3 )
                                                                        •
 d       ∂TЭ   3
                   ∂TЭ ∂x j                                             v1∆t
    TЭ =     +∑          ⋅    =
 dt       ∂t  j =1 ∂x j    ∂t                   •
                                                ρ                                      O′1

   ∂TЭ   3
             ∂T                                                              •
 =     +∑ Э v j .                           O( x1 , x2 , x3 )                ρ′
    ∂t  j =1 ∂x j                                               •
                                                                v0 ∆t

                                                                        O′



                                           момент t                          момент t +∆t

                                                                                            Рис. 7