Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 12 стр.

                                                              12


     Распределение скоростей в произвольно малой частице сплошной
среды
     Рассмотрим совокупность точек среды с координатами xi +dxi =xi +ρi ,
удаленных от точки O ( x1 , x2 , x3 ) на расстояние ρi =d ξ i , dξ ≤ρ0, , где ρ0 >0
– достаточно малое число.
Поле     скоростей      v =v ( x, t )∈C1 (Ω ×(0, ∞))                      будем         считать     непрерывно
дифференцируемым. Обозначим скорость точки O : v ( x, t ) =v0 , а скорость
произвольно выбранной точки O1                              ( x +dx )   - через v1 . За время ∆t вектор

O O1 = ρ перейдет              в О / O1/ = ρ /                     и    ( ρ =ρ; ρ   /
                                                                                        =ρ /   ) очевидно,   что

                                                        (          )
  /                                     /
ρ +v0 ∆t = ρ + v1 ∆t или ρ = ρ v1 −v0 ∆t .

        Разложим v1 в окрестности точки O :
                                     ∂v
                                                                          ( lim ο (1)=1)
                                3
                   v1 =v0 +∑                       ⋅ ρ j +ρ0 ο (1)                                           (1)
                                j =1 ∂x j     0                            ρ0 → 0


Отсюда
                               �            3
                                                       dv                 �
                        ρ =ρ +�
                          /
                                 �          ∑ dx               ρ j +ρ0 o(1)� ∆t
                                                                            �
                                                                                                             (2)
                                   �        j =1        j    0
                                                                              �
Пусть e1 , e2 , e3 - орты осей Ox1 , Ox2 , Ox3. . Тогда
                                                                            3
                              v ( x, t ) =v1 e1 +v2 e2 +v3 e3 =∑ vk ek .
                                                                           k =1

Из (1) имеем
                                                   3    3
                                                          ∂vk
                                v1 =v0 +∑ ∑                    ek ρ j +ρ0 ο (1)
                                                j =1 k =1 ∂x j

Методом «добавить и отнять» получим


              1 3 3 � ∂v          ∂v� j 1 3 3 � ∂v ∂v� j
      v1 =v0 + ∑ ∑ � k + � ek ρ j + ∑ ∑ � k + � ek ρ j +ρ0 ο (1)                                             (3)
              2 j =1 k =1 �� ∂x j ∂xk�� 2 j =1 k =1 �� ∂x j ∂xk��

                1 � ∂v ∂v �                               � ∂vk ∂v� j
Обозначим e jk = � k + j � ;ωkj                         =�       −      ; e =�� e��kj ;ω�� =�� ωkj ; k , j =1,3 ;
                2 �� ∂x j ∂x�k �                           � ∂x j ∂x��k
                                                            �        �