Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Формулы Коши:
;;;
z
xy
uvw
xyz
εεε
∂∂∂
===
∂∂∂
;
xz
wu
γ
∂∂
=+
∂∂
;.
xyyz
uvvw
yxzy
γγ+
∂∂∂∂
==+
∂∂∂∂
Объемная деформация .
В процессе деформации
может изменяться объём
рассматриваемой
области сплошной
среды . Подсчитаем
изменение объёма
бесконечно малого
параллелепипеда,
который до деформации
был прямоугольным со
сторонами
,,
dxdydz
и
объёмом
dvdxdydz
=⋅⋅
.
Длина ребра
(
)
0,
dx
(рис.
6) равная до деформации dx , станет равной
1
()(1).
x
dxdx
ε
=+
Соответственно:
11
()(1);()(1)
yz
dydydzdz
εε
=+=+
- длина проекции
деформированного ребра
()
dydz
на
()
OyOz
. Подсчитаем изменение
объема параллелепипеда.
Площадь основания :
11
()()(1)(1).
xy
dSdxdydxdy
εε
==++
Высота
параллелепипеда есть
1
dz
. Объем параллелепипеда
1
(1)(1)(1)
xyz
dVdxdydz
εεε
=+++
. Пусть деформации малы . Порядок малости
–
ε
, т.е.
();();().
xyz
OOO
εεεεεε
===
Отсюда
2
(1())
xyz
dVdxdydzO
εεεε
=++++ .
Относительная объемная деформация
1
xyz
dVdV
dV
εεε
−
Θ==++
;
xyz
εεε
Θ=++
;
uuu
xyz
∂∂∂
Θ=++
∂∂∂
.
Среда называется несжимаемой, если
0
Θ=
.
Деформации
,,
uvw
можно представить через скорости сдвига точки среды
123
;;,
uVdtvVdtwVdt
===
где
123
(,)(,,)
VxtVVV
= - скорость частицы среды ,
Рис. 6
1
()dx
1
()dx
1
dS
()
0
90
xy
γ−
()
1
dz
z
x 
                                              10


Формулы Коши:
                         εx =∂u ; εy =∂v ; εz =∂w ; γxz =∂w +∂u ;
                             ∂x       ∂y       ∂z        ∂x ∂z
                              γxy =∂u +∂v ; γyz =∂v +∂w .
                                     ∂y ∂x         ∂z ∂y
Объемная деформация.
В процессе деформации
может изменяться объём                        z
рассматриваемой
области      сплошной
среды.      Подсчитаем
изменение        объёма
бесконечно       малого            (dz )
                                       1
                                                                         ( dx )1
параллелепипеда,
который до деформации                                             dS1
                                                                                              x
был прямоугольным со
сторонами dx, dy, dz и                                        ( dx )1

объёмом dv =dx ⋅ dy ⋅ dz .                   (90   0
                                                       −γxy   )                             Рис. 6
Длина ребра (0,dx ) (рис.
6)   равная     до    деформации           dx ,         станет          равной     ( dx)1 =dx(1 +εx ).
Соответственно: ( dy )1 =dy (1 +ε y ); (dz ) 1 =dz (1 +εz ) -                      длина проекции
деформированного ребра dy ( dz ) на Oy (Oz ) . Подсчитаем изменение
объема параллелепипеда.
Площадь     основания:    dS =(dx1 )(dy1 ) =dxdy (1 +εx )(1 +εy ). Высота
параллелепипеда            есть            dz1 .                  Объем            параллелепипеда
dV1 =dxdydz (1 +εx )(1 +ε y )(1 +εz ) . Пусть деформации малы. Порядок малости
–       ε,        т.е.        εx =O(ε ); ε y =O(ε ); εz =O(ε ).                              Отсюда
dV =dxdydz (1 +εx +ε y +εz +O(ε 2 )) .
Относительная объемная деформация
    dV −dV                                     ∂u ∂u ∂u
Θ= 1        =εx +ε y +εz ; Θ =εx +ε y +εz ; Θ = + + .
      dV                                       ∂x ∂y ∂z
Среда называется несжимаемой, если Θ =0 .
Деформации u , v, w можно представить через скорости сдвига точки среды
u =V1 dt ; v =V2 dt ; w =V3 dt , где V ( x, t ) =(V1 ,V2 ,V3 ) - скорость частицы среды,

Страницы