Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 13 стр.

                                                            13


                                           � ρ� 1                �          � ρ1
                           (               )                  (
                v1 =v0 + e1 , e2 , e3 e � ρ� 2 + e1 , e2 , e3 ��
                                            �  �
                                                                     )   ω�� ρ2 +ρ0 ο (1)                (4)
                                         �� ρ�� 3                  ��        �� ρ3
Из (3) следует с точностью до ρ0o(1) : (v1 =(v11 , v12 , v13 ))
                                     3                  3
                       v1k =vk0 +∑ ekj ρ j +∑ ωkj ρ j , k =1,2,3 .                                       (5)
                                    j =1               j =1

                             1 3
Введем квадратичную форму Φ = ∑ e pq ρp ρq .
                             2 p ,q=1
               3
                         ∂Φ
Очевидно, что ∑ ekj ρ j =    . Формулы (5) примут вид
              j =1       ∂ρk
                                           ∂Φ 3
                                    v =v +
                                     1
                                             +∑ ωkj ρ j .
                                                0
                                                                                                         (6)
                                          ∂ρk j =1
                                     k          k



      Таким образом, скорость v1 произвольной точки среды «вблизи» точки
O разбита на 3 составляющие, первая из которых v 0 не зависит от ρ , и,
следовательно, представляет скорость движения всего элементарного объема.
Вторая составляющая ∇Φ имеет потенциал Φ . Для более детального
                                                                     3
исследования       третьей           составляющей                  ∑ω
                                                                    i =1
                                                                           kj   ρ j , k =1, 2,3   рассмотрим

антисимметричную матрицу ω:
                    � 0        ω12 ω13�    � 0 −ω3 ω2�
                     �
                ω = −ω12        0   ω23 = � ω3
                                       �             0 −ω�� 1 ,
                         �               �  �
                       �� −ω13 −ω23 0��       �� −ω2 ω1  0��
(здесь введены обозначения ω1 =ω32 ;ω2 =ω13 ;ω3 =ω21 ), или
             1 � ∂v ∂v�         � 1 ∂v1 ∂v3 �    1 � ∂v ∂v�
         ω1 = � 3 − � 2 ; ω2 =�        − � ; ω3 = � 2 − �1 .
             2 � ∂x2 ∂x� 3   � 2 ∂x3 ∂x1 �       2 � ∂x1 ∂x� 2
Непосредственной проверкой можно убедиться, что
                        � e1              e2         e3�
                         �                              �
                    1� ∂                  ∂          ∂�
                  ω=
                     2 � ∂x1             ∂x2        ∂x� 3
                                                            ;     (ω =(ω ,ω ,ω )).
                                                                                1   2   3

                           �                              �
                             � v1          v2        v3�