Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 15 стр.

                                                               15


Предположим для простоты, что точка O - начало координат, т.е.
ρ =( ρ1 , ρ2 , ρ3 ) =( x1 , x2 , x3 ) , хотя это не существенно. Имеем
                                 1 � ∂Φ        ∂Φ        ∂Φ       �    1
                          lρ =      �    ⋅ x  +    ⋅ x  +    ⋅ x    � = 2 ⋅ 2Φ ,
                                 x � ∂x1       ∂x2       ∂x3
                                  2         1         2         3
                                                                     � x
                         1 3
(т. к. по определению Φ = ∑ e pq x p xq ).
                         2 p ,q=1
                   x p xq
                                                                              (         )
                      3   3
Отсюда lρ = ∑ e pq ⋅ =∑ e pqα pα q , где α p =cos ρ, Ox p .
           p ,q =1 x x p ,q =1
Окончательно
                                                  3
                                       lq = ∑ e pqα pα q                                       (9)
                                                p , q =1

Введём новые обозначения. У нас был введён тензор деформаций P :
                           �       ∂u                      1 � ∂u ∂v�      1 � ∂u ∂w� �
                           �                                  �   + �           � + � �
                           �       ∂x1                     2 � ∂x2 ∂x� 1   2 � ∂x3 ∂x� 1 �
                  � �                                                                      �
                         1 ∂u ∂v�             ∂v                           1 � ∂v ∂w� �
              P =� �            + �                                           �   +    �
                   � 2 � ∂x2 ∂x� 1           ∂x2                           2 � ∂x3 ∂x� 2 �
                    �                                          �
                      � 1 � ∂u ∂w� � 1 ∂v � ∂w            ∂w     �
                       � 2 � ∂x +∂x� � 2 ∂x +� ∂x         ∂x3      �
                        � � 3       �1 �     3 �  2                  �
            du            dv     dw                    dP
Так как        =v1 , =v2 ,            =v3 , поэтому e = . Поэтому матрица e
            dt            dt     dt                    dt
называется тензором скоростей деформаций.
      Итак, если известны компоненты тензора скоростей деформаций e , то
по формулам (9) можно вычислить скорость относительного удлинения lρ в
заданном направлении ρ .
     Механический смысл компонент тензора скоростей деформаций
      Пусть ρ направлен вдоль оси Ox j , тогда из (9) следует:
              3                          3
       lρ = ∑ e pqα pα q =q = ∑ e pq cos( ρ, Ox p )cos( ρ, Oxq ) =e jj ,
            p ,q =1                   p ,q =1

т.е., lρ =e jj , если ρ PОx j .
     То есть компоненты тензора с одноимёнными индексами являются
скоростями относительных удлинений отрезков среды, первоначально
направленных параллельно соответствующим осям.