Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 16 стр.

                                   16


     Компоненты eij при i ≠ j равны половине скорости скашивания
первоначально прямых углов, образованных отрезками среды, в исследуемый
момент времени, параллельных соответствующим осям. Введём вектор
v* =∇Φ и назовём эту величину скоростью чистой деформации. Если v* =0 ,
то деформация отсутствует.


     Главные оси и главные компоненты тензора скоростей деформаций

     Тензор скоростей деформации является симметричной матрицей,
поэтому для нее существует канонический базис (так называемый базис
                                                         � e1 0 0�
главных осей), в котором e имеет диагональный вид e =�� 0 e2 0�� .
                                                          �� 0 0 e�� 3
Величины e1 , e2 , e3 называются главными компонентами тензора скоростей
деформаций. Очевидно, e j >0 соответствует растяжению, а e j <0 – сжатию.
Главные оси тензора деформаций и тензора скоростей деформаций, вообще
говоря, различны.
     Из всего выше сказанного вытекает

     Теорема Коши-Гельмгольца. Скорость v1 любой точки O1 достаточно
малой частицы среды с центром в точке O , с точностью до бесконечно
малых высшего порядка равняется v1 =v0 +ϖ ×ρ +∇Φ , т. е. складывается из
скоростей поступательного движения v0 , вращательного движения ϖ ×ρ
частицы, как абсолютно     твердого тела и скорости v∗ =∇Φ                     чистой
деформации.

     Формула дифференцирования по времени интеграла, взятого по
подвижному объему

     Пусть имеется произвольная функция f , зависящая от координат
точек пространства и от времени t . Предположим, что в рассматриваемой
области изменения аргументов функция f один раз непрерывно
дифференцируема по x . Рассмотрим       ∫
                                        V (t )
                                                 f ( x, y , z , t )dV   по подвижному