Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 18 стр.

                                     18


        Уравнение неразрывности в переменных Эйлера

     Фундаментальным законом ньютоновской механики является закон
сохранения массы объема, состоящего из одних и тех же частиц среды, т.е.
                 dm                                                    ∆m
m =const , или      =0 . Введем плотность среды по формуле ρ = lim        ,
                 dt                                             ∆V → 0 ∆V

где ∆V -объем, занятый массой ∆m . Для конечного объема V справедливо
                                                            d
равенство m =∫ρdV . Закон сохранения массы имеет вид          ∫ ρdV =0.
               V
                                                           dt V

Применяя равенство (11), имеем
              dm d � ∂ρ            �    �      ∂ρ          �
           0=     = ∫�
               dt dt V � dt
                                   ( )
                            +div ρv� dV =
                                     �
                                          � ∫
                                           � V dt
                                                  +ρ div v � dV ,
                                                             �
     ∂ρ           � ∂ρ ∂ρ     ∂ρ       ∂ρ �           ∂ρ
(т.к.   +div ρv =�    + v1 +      v2 + v3 � +ρ div u = +div v ).
     ∂t          � ∂t ∂x1     ∂x2      ∂x3 �          dt
                                     r
     Предположим, что функции ρ, v - непрерывно дифференцируемы по
совокупности переменных. В силу произвольности объема V , по лемме
дю-Буа-Реймонда имеем
                               dρ
                                   +ρ divV =0 .                   (12)
                               dt
Уравнение (12) называется уравнением неразрывности среды в переменных
Эйлера.

        Уравнения движения сплошной среды

     Разобьем, как и ранее, объем V произвольной плоскостью сечения S с
          r
нормалью n на два: V =V1 U V2 , напряжение pn в точке M ∈V I S разложим
на нормальную и касательную составляющие pn = pnn u + pnττ , где τ -
единичный направляющий вектор проекции pn на S , т.е. τ pnτ = pn − pnτ n.
     По второму закону Ньютона ( F =mw ) для материальной точки,
которой является произвольно выбранная точка - частица сплошной среды,
можно получить уравнение изменения количества движения для
                               r
                         d ( mv )
материальной точки                =F (произведение mv называется импульсом
                            dt
или количеством движения материальной точки m ). Для системы точек:
 d
   (∑ mi Vi ) =∑ Fi , внеш ( Fi , внеш - внешняя по отношению к системе сила).
dt i           i