Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 19 стр.

                                          19


     Обозначим Q =∑ mi v i - количество движения системы.
                          i

     Если конечный объем Vε с поверхностью Σ сплошной среды
представить как предел суммы элементарных частиц, можно представить
уравнение изменения количества движения этого объема таким образом
                            dQ
                             dt V∫
                                = F ρdV + ∫ Pn dσ .              (13)
                                          ∑
В равенстве     (13)       обозначим через F интенсивность силы,
                          мы
                                                    F ( x, t )
действующей на единицу массы, т.е. F ( x ,t ) = lim            , где F - сила,
                                               ∆m→ 0 ∆m

действующая на массу ∆m , окружающую в момент t точку x ∈Ў 3 . Так как
ρdV =dm , то        F ρdV - сила, действующая на массу dm . Далее в (13)
обозначено Q =∫v{
                ρdV - импульс массы M . Заметим, что
                V    dm
                 r                                 r            r
               dQ d r              d    r         dv         dv
               dt dt ∫V
                   =    v ρdV = ∫ vdm =∫             dm =∫ ρdV ,
                                  dt M          M dt       V dt

т.к. масса всего объема V и масса dm элементарной частицы неизменны во
                                    d
времени, по этому производная          может быть занесена под знак ∫ ...dm ,
                                    dt                              M

поэтому уравнение (13) получается как предел уравнения
                          d      r
                      ∑i dt (dmi vi ) =∑i Fi dmi +∑j Pnj dσ j ,         (13′ )

Откуда
                                  d
                              ∫dt vdm =∫Fdm + ∫ P dσ .
                                                   n
                              M       M        ∑
Уравнение (13) или его эквивалент
                          dv
                        ∫ dt
                             ρdV =∫F ρdV + ∫ Pn dσ                  (14)
                        V         V       ∑
являются исходными для любых движений сплошной среды, в частности,
разрывных. Если их функции, характеризующие движение, достаточно
гладкие (точнее, все подынтегральные выражения в (14) непрерывны), то от
интегральных уравнений (14) можно перейти к дифференциальным, что мы
сделаем позже.