Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 21 стр.

                                                21

r            r             r              r       r r r
n =cos( n, x)i +cos( n, y) j +cos( n, z ) k , где i , j , k − - орты осей координат.
Как мы показывали в разделе «теория напряжений»
pn = p1cos (n, x ) +p 2 cos (n, y ) +p 3 cos (n, z ) , (16)
                                                                  r r r
где p k , k =1,3 - напряжения на площадках с нормалями i , j , k . Поэтому

             ∫Σ pn dσ =∫Σ ( p cos(n, x) + p cos(n, y) + p cos(n, z) )
                r           r1              r2            r3

                                    r    r       r                       (17)
                                 � ∂p 1 ∂p 2 ∂p �3
                         =∫ �          +     + � dV ,
                             V
                                � ∂x     ∂y     ∂z�
(теорема Гаусса-Остроградского, применена к каждой компоненте вектора
(16)). Из (17) и (14) имеем
                          r                      r     r      r
                         dv            r      � ∂p1 ∂p 2 ∂p� 3
                      ∫V dt dV −∫V F ρ =∫V �� ∂x + ∂y + ∂z�� dV .        (18)

     Предположим, что все характеризующие среду функции, входящие в
подынтегральные выражения в (18), непрерывны. В силу произвольности
объема V по лемме дю-Буа-Реймонда имеем
                               r
                            dv              ∂p1 ∂p 2 ∂p 3
                          ρ =ρ F +              +      +     .          (19)
                            dt              ∂x      ∂y   ∂z
                                                                          � p k� 1
                                                                           � �
       Разложим векторы p k по осям координат:                      p k =� p k� 2 ,    k =1,2,3.
                                                                            � p k� 3
                                                                             � �
Заметим, что компоненты                 p kk   ранее нами назывались «нормальные
напряжения», а компоненты                 p kj , k ≠ j -«касательные напряжения» и по
«закону      парности»         p kj = p jk .   Составим       из     компонент         векторов
                                 � p11               p12    p13�
                                  �                           �
p k симметричную матрицу P : P =� p 21               p 22   p 23�   и назовем ее – «тензор
                                    � p 31           p 32   p33��
                                     �
напряжений». Из (16) имеем
                                              r
                                      pn =P ⋅ n .                      (20)
     Равенства (19) и уравнение (12) вместе составляют систему 4 уравнений
с 13 неизвестными: ρ, v1 , v2 , v3 , p k , j , k =1,3.