Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 22 стр.

                                            22


       Тензорная поверхность тензора напряжений

     Любой симметричной матрице, в том числе и P , можно поставить в
соответствие квадратичную форму
                                          1 3
                       Φ( x1 , x2 , x3 ) = ∑ p k ,i xk xi .     (21)
                                          2 i ,k =1
Геометрическое место точек             x =( x1 , x2 , x3 ) ∈Ў 3 , для которых Φ =const ,
называется тензорной поверхностью тензора напряжений P .

       Идеальные жидкость и газ

        Определение. Назовем идеальной жидкостью (или идеальным газом)
                                         r                                     r
такую среду, в которой напряжение pn на любой площадке с нормалью n
                                  r r
ортогонально площадке, т.е. pn || n .
        Покажем, что из (20) следует, что в этом случае тензор напряжений P
                  � −p 0      0�
                   �            �
имеет вид P =� 0 −p 0� , где p − некоторая константа, которую мы
                     � 0 0 −p��
                      �
                                               r         r
назовем давлением. Действительно, при n =(1,0,0)T , pn =( p11 , p 21 , p 31 )T и
 r r                                                       r
 pn || n , следовательно, p 21 = p 31 =0 , далее при       n =(0,1,0)T имеем
                                      r
 p12 = p 32 =0 , и, наконец, при      n =(0,0,1)T из условия параллельности
 r r
 pn || n также имеем
                                               � p11 0    0�
p = p =0 . Следовательно, P =� 0 p22 0�� . Однако при n =(1,1,1)T
  31    32                                      �                                  r
                                                  � 0 0 p33��
                                                   �
      r
имеем pn =( p11 , p 22 , p 33 )T || (1,1,1)T , следовательно, p11 = p 22 = p 33 . Обозначим
эти равные величины общим символом −p . Утверждение доказано.
      Замечание. Так как матрица P пропорциональна единичной, тензорная
поверхность тензора напряжений идеальной жидкости (газа) является шаром.
Шар вращением переводится в шар, следовательно, любая декартова система
координат является главной для тензора напряжений идеальной жидкости.