Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 20 стр.

                                         20


     Ограничения, налагаемые уравнением количества движения на
нормальные напряжения

          Разобьем объем V плоскостью π : V =V1 U V2 , S =π I V . Для каждого
из объемов, учитывая, что масса элементарной частицы dm =ρdV не зависит
от времени, имеем
d                dV
dt V∫          ∫
      V ρ dV =      ρdV = ∫F ρdV + ∫ P n dσ +∫P ( −1)(nk +1) dσ ,
                 dt
    k         VK         VK       ∑K         S
                                                                            Σ2
                                          Σ1
                                                                       •
    d             dV                                                   n
       ∫
    dt V
         V ρdV +∫ ρdV =
                V
                  dt                           V1
                                                              S

                                                                           V2
    =∫F ρdV + ∫ Pn dσ , .                           •
                                                    P−n
                                                                  •
     V         ∑ 1 +∑ 2                                           Pn
       k =1, 2
Сложим 2 первых уравнения
( k =1,2) и вычтем 3-е:                                   π                      Рис. 9


∫P dσ +∫P
S
     n
             S
                 −n   dσ =0 . (15)

Отсюда, в силу произвольности выбора объемов, и, следовательно, сечения
S : P n =P −n . Это необходимое условие справедливости уравнений (13).
     При снятии интегралов в (15) мы предполагали непрерывность
функций, стоящих под интегралом.

         Дальнейшие преобразования уравнения (13).

     Возьмём в данный момент времени произвольную точку M сплошной
среды и построим
а) произвольную плоскость π с нормалью n , проходящую через M
б) прямоугольный тетраэдр, одна из граней             z
которого лежит на        π , остальные –               B
                                                                  r
                                                      π    M     n
перпендикулярны осям координат.                        N      C
     Пусть параллельные осям ребра               A
NA =dx; NC =dy; NB =dz                                 k
достаточно малы. Единичная нормаль n к                0   j     y
площадке        ABC         имеет     вид          i
                                                          x                           Рис. 10