Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 23 стр.

                                         23


      Уравнения движения идеальной жидкости
                                                       r    r    r
                                                      ∂p1 ∂p 2 ∂p3
     В случае идеальной жидкости, очевидно, выражение    +    +    ,
                                                      ∂x   ∂y   ∂z
фигурирующее в уравнениях (19), возможно преобразовать следующим
образом
                                                               � ∂p�
                                                                � ∂x�
         r1    r2    r3   � p11�  � � p 21 � �        p 31       � �
        ∂p ∂p      ∂p    ∂� �      �∂ �        � �∂                    ∂p
            +     +     = � p12� +� � p 22 � + �      p 32   =−�� �� =−∇ p,
        ∂x    ∂y    ∂z ∂x � 13�    � ∂y � p 23 � ∂� z p 33             ∂y
                           � p�     � �         � �               � �
                                                                   � ∂p�
                                                                    � �
                                                                     � ∂z�
поэтому уравнения (19) принимают следующий вид
                               r     r
                              dv
                             ρ =ρF −∇ p .                                      (22)
                              dt
                        r   r    r       r      r       r
                       dv ∂v    ∂v      ∂v     ∂v      ∂v
Или с учетом того, что    = +v1    +v 2    +v1    +v 3    ,
                       dt  ∂t   ∂x      ∂x     ∂y      ∂z
                                       r
                      ∂v1     ∂v1     ∂v1    ∂v       1 ∂p
                          +v1     +v2     +v3 1 =Fx −      ;
                       ∂t      ∂x     ∂y     ∂z       ρ ∂x
                                       r
                      ∂v2     ∂v2     ∂v2    ∂v       1 ∂p
                          +v1     +v2     +v3 2 =Fy −       ;                  (23)
                       ∂t     ∂x      ∂y      ∂z      ρ ∂y
                                       r
                      ∂v3     ∂v3     ∂v3    ∂v       1 ∂p
                          +v1     +v2     +v3 3 =Fz −       .
                       ∂t      ∂x     ∂y      ∂z      ρ ∂z
      Уравнения (23) называются уравнениями Эйлера.

    Уравнения движения идеальной жидкости в форме Громеки-Лемба.
    Ниже будем обозначать ( x =x1 ; y =x2 , z =x3 ) . Из тождества
                       dvk ∂vk     ∂v    ∂v    ∂v
                           =    +v2 k +v1 k +v3 k =
                        dt   ∂t    ∂x    ∂y    ∂z
               ∂vk 1 ∂ 2                         3         � ∂v j ∂vk�
             =    +      (v1 +v2 +v3 ) − ∑ v j �
                               2      2
                                                                  −       =
                ∂t 2 ∂xk                                    � ∂x ∂x��
                                            j =1, j ≠k       �  k     � j


                    ∂v    1 ∂ r 2            3         � ∂v j ∂vk�
                   = k +        | v | − ∑ vj �                  −
                                                        � ∂xk ∂x�� j
                                                                        .
                     ∂t 2 ∂xk           j =1, j ≠k       �          �
             1 ∂v   ∂v          1 ∂v ∂v                         1 ∂v      ∂v
и формул ω1 = ( 3 − 2 ); ω2 = ( 1 − 3 ); ω1 = ( 2 − 1 ) имеем
             2 ∂x2 ∂x3          2 ∂x3 ∂x1                       2 ∂x1 ∂x2