Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 25 стр.

                                                                    25

                          3
                τij = ∑ Bijpq ⋅ e pq ;                         (   Bijpq =B jipq =Bijqp =B jiqp   ).           (28)
                      p , q =1

    Замечание. Как видно в (28), составляющие τij тензора напряжений для
жидкости линейно зависят от скоростей деформации                                              e pq . Это является
главным отличием жидкости от упругой среды, в которой справедлив закон
Гука, связывающий компоненты тензора напряжений с деформациями (а не
                                   3
с их скоростями): p = ∑ Aijpq ⋅ E pq , где E pq - элементы тензора деформации
                     ij

                                 p , q =1

                                                   �                1        1 �
                                                   � Ex               γxy     γkz
                                                                    2        2 �
                                           �                                      �
                                                       1                     1 �
                                       E =�              γxy         Ey       γyz .
                                             �         2                     2 �
                                               �       1            1               �
                                                 �       γxz          γyz     Ez�
                                                   �   2            2                 �

    Изотропная среда.

    Изотропной называют среду, свойства которой одинаковы по всем
направлениям. С математической точки зрения это означает, что при замене
исходной декартовой системы координат на иную декартову систему с
помощью преобразования вращения T (det T =1) или зеркального отражения
T1 относительно одной из координатных плоскостей (det T1 =−1) , или любой
суперпозиции этих замен координат, коэффициенты Bijpq в (28) остаются
неизменными    (инвариантность относительно указанной  группы
преобразований называется изотропной симметрией). Найдем вид
коэффициентов Bijpq .
1.Пусть переход от старых координат x1 , x2 , x3 к новым y1 , y2 , y3 происходит
                          � −1 0                                      �0
с помощью матрицы T =�� 0 1                                           �0 : T y =x (первая из осей поменяла
                                                                      �
                           � 0 0                                   1��
                            �
ориентацию). Матрицы τ и                                             e      пересчитываются            по   правилу
                     � −1 0 �0
τx =TτyT ; T =T =�� 0 1 ��0 ,
        −1   −1
                                                                   то есть
                  � 0 0 1�
                   �          �