Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 27 стр.

                                               27


                               0 =4 ( B1113 e13 +B1123 e23 ) .                             (С)
     Однородная система (А), (В), (С) в силу произвольности e12 , e23 , e13 имеет
лишь нулевое решение B1112 =B1123 =B1113 =0 .
     Совершенно аналогично доказывается, что Biipq =0 при p ≠q , i =1,3 .
2. Рассмотрим i ≠ j , например, i =1, j =2 . Докажем, что B12 pq =0 для любых
p, q за исключением p =1, q =2 .
Из формул (28) имеем
                                              3
                                    τy12 = ∑ B12 pq e pq .                                 (D)
                                            p , q =1

                                             � −1        0      �0
      Рассмотрим преобразование T =�� 0                  1      �0 =T −1 .
                                                                �
                                              � 0        0   1��
                                               �
      τx12 =−τy12 =B1211e11 −2 B1212 e12 −2 B1213e13     +B1222 e22 +B1233e33 +2 B1223e23 . (E)
       Предположим на время, что y −система координат является главной
для матрицы (E), тогда eij =0 при                      i ≠ j . Сложим (D) и (E) в этом
предположении,           получим         B1211e11 +B1222e22 +B1233e33 =0 .        В      силу
произвольности
                                      B1211 =B1222 =B1233 =0 .                              (F)
       Откажемся теперь от предположения, что y −система координат
главная. Из (D), (E), (F), после сложения (D) и (E) 0 =4B1223e23 или B1223 =0 .
                      � 1 0 �0
Преобразование T =�� 0 −1 ��0 приводит к равенству
                       � 0 0 1�
                        �       �
              τx12 =−τy12 =B1211e11 +B1222 e22 +B1233 e33 −2 B1212 e12 −
                                                                              .
             −2 B1223e23 +2 B1213 e13 =−2 B1212 e12 −2 B1223 e23 +2 B1213 e13
       Сложим последнее уравнение с (D) . Получим                            0 =4B1213e13 или
B1213 =0 . Так мы показали (на примере i =1, j =2 ), что Bijpq =0 при i ≠ j и
любых p, q кроме p =i, q = j . Итак, отличны от нуля могут быть лишь
величины Bkkkk , Bkkjj , Bkjkj ; k , j =1,3 . Некоторые из этих величин равны.