Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 26 стр.

                                                                26


       � −1        0         �0     � τ11 τ12 τ13
                                                � � −1        0 0 � � −1 0 �                0   � −τ11 τ12 τ13�
τx =�� 0           1         �0
                             �
                                     � τ τ τ� � 0
                                      � 21 22 23  � �         1 0 �� =   � 0 1�
                                                                          �     �           0    �           �
                                                                                              � −τ21 τ22 τ23� =
         �                     �       � τ τ τ� � 0           0 1 � � 0 0 ��
                                                                       �    �                  � −τ τ τ �
        � 0        0         �1                  � �
                                        � 31 32 33                                          1      � 31 32  33 �
   � τ11           −τ12            −τ13�                            � e11 −e12               −e13�
=�� −τ21           τ22             τ23�� , аналогично         ex =�� −e21 e22                e23�� .
    � −τ           τ32             τ33��                             � −e                    e33��
     �     31                                                         � 31 e32
       В силу изотропности среды, при фиксированных i, j имеем (в силу
симметричности матриц τ и e можем считать j ≥i ).
       1. Пусть вначале i = j =1
                                                     3                   3
                                            τy11 = ∑ B11 pq eypq = ∑ B11 pq e pq                                   (∗)
                                                   p , q =1            p , q =1
           3
τx11 = ∑ B11 pq expq =
         p ,q =1

=τy11 =B1111e11 −2 B1112 e12 −2 B1113e13 +B1122 e22 +2 B1123 e23 +B1133 e33 .                                  (∗∗)
Вычитаем (∗∗) из (∗).
                                               0 =4 ( B1112 e12 +B1113 e13 ) .                                     (A)
                                         � 1 0                                       �0
       Следующее преобразование T =�� 0 −1                                           �0
                                                                                     �    . Аналогично
                                      � 0 0                                       �1
                                       �                                           �
                   � τ11 −τ12 τ13�                                        � τ11              τ12 τ13�
             τx =�� −τ12 τ22 −τ23�� , если τy                          =�� τ21               τ22 τ23�� ;
                    � τ            �                                       � τ               τ32 τ33��
                     � 13 −τ23 τ33�                                         � 31
                                   � e11    −e12      e13�                   � e11            e12 e13�
                             ex =�� −e12    e22      −e23��   , если ey =�� e21               e22 e23��  и
                                    � e     −e23      e33��                   � e             e32 e33��
                                     � 13                                      � 31
                         3
τy11 =τx11 = ∑ B11 pq expq =B1111e11 +B1122e22 +B1133e33 −2 B1112 e12 −2 B1123e23 +2 B1113e13
                       p ,q =1

       Вычтем из (∗) последнее уравнение, получим
                          0 =4 ( B1112 e12 +B1123 e23 ) .                                                          (В)
                                 � 1 0 0�
       После преобразования T =�� 0 1 0��                                    получаем уравнение
                                  � 0 0 −� 1
                                   �      �