Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 24 стр.

                                        24

                             r  r
                            dv ∂v 1 r 2       r r
                               = + ∇ | v | +2(ω ×v ) .                        (24)
                            dt ∂t 2
Из (22) и (24) имеем
                            r
                          ∂v 1 r 2         r r      r 1
                              + ∇ | v | +2(ω ×v ) =F − ∇ p.            (25)
                          ∂t 2                          ρ
Уравнения (25) называются уравнениями движения Эйлера в форме Громеки-
Лемба.
          Если к уравнениям (23) или (25) добавить уравнения неразрывности
(12), получим систему четырех уравнений с пятью неизвестными
v1 , v2 , v3 , ρ, p .
          В некоторых случаях можно дополнительно считать, что
рассматриваемая жидкость является несжимаемой, то есть такой, что
      r r
div v =0 , тогда из уравнения (12) немедленно следует
                        d ρ ∂ρ         ∂ρ     ∂ρ      ∂ρ
                              = +v1       +v2     +v3    =0.
                         dt    ∂t      ∂x     ∂y      ∂z
Поэтому в случае несжимаемой жидкости к уравнениям (23) (или (25))
следует добавить 2 уравнения
                                        r     dρ
                                    div v =0,     =0.                  (26)
                                              dt
          Система уравнений (23), (26) содержит пять уравнений с пятью
неизвестными.




     Вязкие жидкости.

    Определение. Вязкой жидкостью называется среда,                    в   которой
компоненты тензора напряжений представляются в виде
                                                        � 1, i = j;
                 p ij =−pδij +τij , i, j =1,3; δi , j =�                      (27)
                                                         � 0, i ≠ j.
     В (27) через τij обозначены функции компонент тензора скоростей
деформации e pq и, возможно, температуры T и других физико-химических
параметров.
    Будем считать, что зависимость τij от e pq выражается согласно закону
Навье – Стокса: