Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
объему
()
Vt
. Вычислим производную
()
(,,,)
Vt
d
fxyztdV
dt
∫
. По определению
производной
()()
()
0
((,,,)(,,,)
(,,,)lim
VttVt
Vt
t
fxyzttdVfxyztdV
d
fxyztdV
dtt
+∆
∆→
+∆−
∆
∫∫
∫
()
()()()
0
(,,,)(,,,)(,,,)
lim
VttVttVt
t
fxyzttfxyztdVfxyztdV
tt
+∆+∆−
∆→

+∆−

=+

∆∆

∫∫
.
Очевидно,
()
0
()
(,,,)(,,,)
lim
(,,,)
Vtt
t
Vt
fxyzttfxyzt
dV
t
f
xyztdV
t
+∆
∆→
+∆−
=
∆
∂
=
∂
∫
∫
Обьем
'
VV
−
состоит из элементарных
цилиндров dV =
(
)
(
)
.
nn
vtvdt
σσ
∆∂=∆
При
0
t
∆→
поверхность
′
Σ
стягивается к
Σ
.
Поэтому
()
()
()
()
0
()
0
1
lim,,,
lim,,,
,,,
t
VttVT
n
t
повсем d
n
fxztdt
t
t
fxztvd
t
fxztvd
σ
ϕ
ϕσ
ϕσ
∆→
+∆−
∆→
=
∆

∆
=⋅⋅=

∆

=⋅
∑
∫
∑
∫
Напомним формулу Гаусса -Остроградского для объема
V
с поверхностью
∑
(
)
,div
V
undudV
σ
∑
=
∫∫
. (10)
Положим в (10)
uvf
= , тогда
(
)
nn
unuvf
⋅== и из (10) имеем
(
)
div
n
V
fvdfvdV
σ
∑
=
∫∫
.
Поэтому окончательно
()
()
()()
,,,div
VtVt
df
fxztdVfvdV
dtt
ϕ
∂

=+

∂

∫∫
. (11)
V
V
′
′
Σ
Σ
v
′
•
n
•
d
σ
n
v
dV
Рис. 8
                                                                17


                                                                     d
                                                                     dt ∫V (t )
объему V (t ) . Вычислим производную                                            f ( x, y, z , t )dV . По определению

производной

       d                                                   ∫V (t +∆t ) ( f ( x, y, z, t +∆t )dV −∫V (t ) f ( x, y, z, t )dV =
       dt ∫V ( t )
                         f   ( x , y , z , t )dV  = lim
                                                    ∆t → 0                                  ∆t
                 �
                        ∫            ( f ( x, y, z, t +∆t ) − f ( x, y, z, t ) ) dV ∫V (t +∆t )−V (t ) f ( x, y, z, t )dV �
     =lim          �     V ( t +∆t )
                                                                                          +                                 � .
        ∆t → 0 �                                        ∆t                                                ∆t                 �
                     �                                                                                                         �
                                     Очевидно,
                        f ( x, y , z , t +∆t ) − f ( x, y , z , t )
lim ∫                                                                      dV =
∆t → 0 V ( t +∆t )                              ∆t
                               ∂f                                                         V              V′
             =∫                    ( x, y, z , t )dV                                                                     ′
                       V ( t ) ∂t                                                                                 • Σ
                                                                                                    Σ          v′
                                                                                                                            •
                                                                                                                            n
Обьем V '−V состоит из элементарных
цилиндров dV = (vn ∆t ) ∂σ =(vn dσ ) ∆t. При                                                         dσ        vn

∆t → 0 поверхность Σ′ стягивается к Σ .
     Поэтому
                                                                                                                       dV

       1
lim              ∫          f ( x, ϕ, z, t ) dt =                                                                   Рис. 8
∆t → 0 ∆t
          V (t +∆t )−V (T )

            �                                             ∆t �
=lim �
   ∆t → 0
                   ∑         f ( x, ϕ, z, t ) ⋅ vn ⋅ dσ
                                                          ∆t �
                                                               � =
            �   по всем dσ

= ∫ f ( x, ϕ, z, t )vn ⋅ dσ
 ∑
Напомним формулу Гаусса-Остроградского для объема V с поверхностью ∑

                                                 ∫(u , n )dσ =∫div u dV
                                                 ∑                   V
                                                                                     .                                          (10)

                                                        ( )
                Положим в (10) u =v f , тогда u ⋅ n =un =vn f и из (10) имеем

                                                ∫fv dσ =∫div ( f v )dV .
                                                ∑
                                                     n
                                                               V

Поэтому окончательно
                                                          � ∂f          �
                   d
                      ∫      f ( x,ϕ, z, t ) dV = ∫ �
                                                            ∂t
                                                               +div f v� dV .              ( )                                  (11)
                                                 V (t ) �                 �
                  dt V ( t )

Страницы