Специальный курс "Математические модели в гидродинамике". Глушко А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
Поэтому
1
2
v
ω
=∇×
, а третье слагаемое в (6) представимо в следующем
векторном виде:
1221333223123
2112333113123
3113222112123
eeeωρωρωρωρ
ωρωρωρωρωωωωρ
ωρωρωρωρρρρ
+−+



+=−==×



+−+

.
Следовательно, представление (6) принимает вид
(
)
10
0
vv
ωρρο
=+∇Φ+×+
(7)
Заметим, что для твердого тела имеет место теорема Эйлера
10
vv
ρ
=+Ω×
, (8)
где
0
v
- скорость некоторой фиксированной точки О тела ,
Ω
- вектор
мгновенной угловой скорости вращения тела ,
1
OO
ρ = . Формулы (7) и (8)
отличаются наличием в (7) слагаемого
∇Φ
и
(1)
o
ρ
0
. Величина
(1)
o
ρ
0
имеет высший порядок малости и поэтому при построении нами линейной
теории учитываться не будет .
Выясним роль
∇Φ
. В результате движения сплошной среды вектор
ρ
переходит в
'
ρ
. Изменение
'
ρρρ
∆=−
может быть обусловлено только тем ,
что разные точки бесконечно малой частицы движутся с разными
скоростями. Вычислим отличную от нуля для деформируемого тела
величину, называемую «скоростью относительного удлинения отрезка среды
в направлении
ρ
»:
2
222
111()1
().
22
dddd
t
l
dtdtdtdt
ρ
ρ
ρρρρρ
ρ
ρρρρ
ρ
∂
⋅
∂
=====⋅
Из равенства
0
0
1
'()
vvt
ρρ
=+−∆
в пределе при
0
t
∆→
следует
0
1
.
d
vv
dt
ρ
=−
Поэтому
0
1
222
111
(*)(())(*()).
d
lvv
dt
ρ
ρ
ρρρωρ
ρρρ
==⋅−=∇Φ+×
Так как
()0
ρωρ
⋅×=
(
()
ρωρ
⊥×
), то
()
123
22
123
11
l
xxx
ρ
ρρρρ
ρρ

∂Φ∂Φ∂Φ
=⋅∇Φ=⋅+⋅+⋅

∂∂∂

                                              14


             1
Поэтому   ω= ∇ ×v , а третье слагаемое в (6) представимо в следующем
             2
векторном виде:
               � ω12 ρ2 +ω13 ρ� 3 � −ω3 ρ2 +ω2 ρ� 3      e1 e2 e3
                � ω ρ +ω ρ� � = ω ρ −ωρ � =ω ω ω =ω×ρ .
                 � 21 1       23 � 3 �    3 1    1 3 �    1  2  3

          �       � ω31ρ1 +ω� 32 ρ� 2 �� −ω2 ρ1 +ωρ
                                                  1 �� 2 ρ1 ρ2 ρ3
Следовательно, представление (6) принимает вид
                            v1 =v 0 +∇Φ +ω×ρ +ρ0 ο (1)                                (7)
Заметим, что для твердого тела имеет место теорема Эйлера
                                          v =v +Ω ×ρ ,
                                           1  0
                                                                                       (8)
где v 0 - скорость некоторой фиксированной точки О тела, Ω - вектор
мгновенной угловой скорости вращения тела, ρ =OO1 . Формулы (7) и (8)
отличаются наличием в (7) слагаемого ∇Φ и ρ0 o(1) . Величина  ρ0o(1)
имеет высший порядок малости и поэтому при построении нами линейной
теории учитываться не будет.
     Выясним роль ∇Φ . В результате движения сплошной среды вектор ρ
переходит в ρ ' . Изменение ∆ρ =ρ ' −ρ может быть обусловлено только тем,
что разные точки бесконечно малой частицы движутся с разными
скоростями. Вычислим отличную от нуля для деформируемого тела
величину, называемую «скоростью относительного удлинения отрезка среды
в направлении ρ »:
                     ∂ρ
                        1 dρ   1 d ρ2   1 d ( ρ ⋅ ρ) 1       dρ
              lρ = ∂t =      = 2      = 2           = 2 (ρ ⋅    ).
                   ρ    ρ dt 2 ρ dt    2ρ     dt     ρ       dt

                                                                             dρ
Из равенства ρ ' =ρ0 +(v1 −v 0 )∆t в пределе при ∆t → 0 следует                 =v1 −v 0 .
                                                                             dt
Поэтому
                     1        dρ    1                     1
              lρ =       (ρ *    ) = 2 ( ρ ⋅ (v1 −v 0 )) = 2 ( ρ * (∇Φ +ω×ρ)).
                     ρ 2
                              dt    ρ                     ρ
Так как ρ ⋅ (ω ×ρ) =0           ( ρ ⊥(ω ×ρ) ), то
                                   1 � ∂Φ         ∂Φ       ∂Φ      �
                         1
                         ρ
                            (       )
                     lρ = 2 ρ ⋅∇Φ = 2 �
                                   ρ � ∂x1
                                           ⋅ ρ1 +
                                                 ∂x2
                                                     ⋅ ρ2 + ⋅ ρ3 �
                                                           ∂x3       �

Страницы