Уравнения с частными производными: Сборник заданий по курсу. Глушко В.П - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Задание № 4. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑
x,x
u@x,yD+2*b@x,yD*∑
x,y
u@x,yD+c@x,yD*
∑
y,y
u@x,yD+d@x,yD*∑
x
u@x,yD+e@x,yD*∑
y
u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0
1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
81 y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
,
3
ÅÅÅÅÅ
4
H-4 + 9y
2
L, -4, -
108 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 + 9y
2
,
72 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4 + 9y
2
,0=;
2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
625 x
2
y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2916
,
100 x
3
y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
729
,
128 x
4
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
729
,0,
25 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
81
,0=;
3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
25
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
SinA
5x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
6
E
2
,
125
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
24
y SinA
5x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
6
E,
625 y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
144
,
625 x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
144
,0,0=.
Построить характеристики для этого уравнения,
если это возможно, или соответствующую
криволинейную систему координат. Если уравнение
меняет тип, то привести его к каноническому
виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
4
                                                                                        4



Задание № 4. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑x,x u@x,yD+2*b@x,yD*∑x,y u@x,yD+c@x,yD*


1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
   ∑y,y u@x,yD+d@x,yD*∑x u@x,yD+e@x,yD*∑y u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0


  9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅ H-4 + 9 y2 L, -4, - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅ , 0=;
     81 y2 3                                         108 y                         72 y


2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
         4               4                         4+9y 4+9y


  9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0=;
     625 x2 y2 100 x3 y 128 x4                                                            25 y

3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
          2916                           729                       729                      81


  9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ SinA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y SinA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, 0=.
     25             5 x 2 125                          5 x 625 y2 625 x
      4               6             24                   6              144                   144
Построить характеристики для этого уравнения,
 если это возможно, или соответствующую
 криволинейную систему координат. Если уравнение
 меняет тип, то привести его к каноническому
 виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.

Страницы