Уравнения с частными производными: Сборник заданий по курсу. Глушко В.П - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Задание № 60. Привести к каноническому виду каждое из
следующих уравнений второго порядка
L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑
x,x
u@x,yD+2*b@x,yD*∑
x,y
u@x,yD+c@x,yD*
∑
y,y
u@x,yD+d@x,yD*∑
x
u@x,yD+e@x,yD*∑
y
u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0
1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
9604 y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
81
, -
343 H-9 + 49 y
2
L
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3888
, -
2401
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
20736
,
-
319333 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
2592 H9 + 49 y
2
L
,
117649 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
10368 H9 + 49 y
2
L
,0=;
2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
625
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
36
J7 - 2 CosA
10 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3
EN, -
175
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
6
SinA
5y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
3
E,
49
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
,0,
1225 y
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
36
,0=;
3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
9
y
4
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4096
, -
5
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
256
y
2
TanA
5x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
E,
25
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
16
TanA
5x
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
4
E
2
, -
5y
2
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
1024
,0,
25
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
256
=.
Построить характеристики для этого уравнения,
если это возможно, или соответствующую
криволинейную систему координат. Если уравнение
меняет тип, то привести его к каноническому
виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
Провести проверку.
Примеры решения задач
Задача 1. Привести к каноническому виду следующие
уравнение второго порядка
∂
x,x
u@x, yD- 2 Cos@xD∂
x,y
u@x, yD-
H3 + Sin@xD
2
L ∂
y,y
u@x, yD+ y ∂
y
u@x, yD+ xyu@x, yD == 0
Построить характеристики для
этого уравнения и провести проверку.
Решение. Введём обозначения для данных задачи
51
                                                                                        51



 Задание № 60. Привести к каноническому виду каждое из
 следующих уравнений второго порядка
 L@x,y,u@x,yDD=a@x,yD*∑x,x u@x,yD+2*b@x,yD*∑x,y u@x,yD+c@x,yD*


 1. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
    ∑y,y u@x,yD+d@x,yD*∑x u@x,yD+e@x,yD*∑y u@x,yD+m@x,yD*u@x,yD=0

                                    343 H-9 + 49 y2 L
    9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
       9604 y2                                                                           2401
                                                               ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ,
             81                                   3888                                  20736

              2592 H9 + 49 y L 10368 H9 + 49 y2 L
                         319333 y                                      117649 y
        - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ                                             ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0=;
                                        ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅ , ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

 2. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
    9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ J7 - 2 CosA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ EN, - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ SinA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0=;
       625                      10 y                175               5 y 49                       1225 y

 3. 8a@x,yD,b@x,yD,c@x,yD,d@x,yD,e@x,yD,m@x,yD<Ø
        36                         3                   6                3            4                  36


    9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y2 TanA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ TanA ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ E , - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ , 0, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =.
          y4                   5                 5 x 25                       5x 2              5 y2                  25
       4096                 256                    4           16               4              1024                  256
 Построить характеристики для этого уравнения,
  если это возможно, или соответствующую
  криволинейную систему координат. Если уравнение
  меняет тип, то привести его к каноническому
  виду в каждой подобласти, где сохраняется тип.
 Провести проверку.




                                                Примеры решения задач

     Задача 1. Привести к каноническому виду следующие
уравнение второго порядка

∂x,x u@x, yD - 2 Cos@xD ∂x,y u@x, yD -
    H3 + Sin@xD2 L ∂y,y u@x, yD + y ∂y u@x, yD + x y u@x, yD == 0

Построить характеристики для
 этого уравнения и провести проверку.
 Решение. Введём обозначения для данных задачи

Страницы