Механика. Голицына О.М - 2 стр.

                                      2
             Работы 5А и 5Б. Изучение геометрии масс твердых тел

Цель работ: экспериментальная проверка зависимости между моментами инерции
тела относительно осей, пересекающихся в одной точке. Определение главных
моментов инерции симметричных тел методом крутильного маятника.
Оборудование: крутильный маятник, миллисекундомер с фотодатчиком, образцы.
                                 I. Введение
      Свяжем с твердым телом неразрывно некоторую произвольно выбранную
систему координат XYZ, поместив ее начало в произвольной точке O.
Пространственное распределение массы твердого тела относительно этой
системы может быть описано шестью независимыми величинами J ik ,
совокупность которых составляет так называемый тензор инерции. Тензор
инерции можно представить в виде симметричной ( J ik = J ki )матрицы:


                                       � J xx         J xy   J xz �
                                        �                            �
                                          � J yx      J yy   J yz � ,
                                           � J               J zz ��
                                            � zx      J zy

где           J xx =Σm( y 2 +z 2 ) ,       J yy =Σm( x 2 +z 2 ) ,        J zz =Σm( x 2 + y 2 ) ,
J xy = J yx =−Σmxy , J xz = J zx   =−Σmxz , J yz = J zy =−Σmyz .


Здесь суммирование производится по всем элементарным массам, составляющим
твердое тело. Диагональные компоненты тензора инерции, очевидно, являются
моментами инерции тела относительно осей OX, OY и OZ. Они всегда
положительны. В дальнейшем будем обозначать их J x , J y , J z . Недиагональные
элементы тензора называются центробежными моментами инерции. Эти
элементы могут оказаться как положительными, так и отрицательными и равными
нулю в зависимости от выбора системы координат. В частности, направление
осей x, y, z всегда можно подобрать таким образом, чтобы все центробежные
моменты инерции обратились в нуль. Тензор инерции будет иметь тогда
диагональный вид:


                                          � Jx         0     0�
                                           �                    �
                                             � 0       Jy    0�
                                              �                  �
                                                � 0    0     Jz �