Исследование и построение графиков функций с помощью системы "Математика". Голованева Ф.В - 28 стр.

                                                                     28

       n = 2. A(t) = y′t′ ( t ) ⋅ x ′t′ ( t ) −x ′t′ ( t ) ⋅ y′t′ ( t )
                               2          2           2          2


       Очевидно, A(t) = 0.

   n = 3. A(t) = y (t 3) ( t ) ⋅ x ′t′ ( t ) −x (t 3) ( t ) ⋅ y′t′ ( t )
                               3          2            3             2


   In[ ] (D[D[D[t^3/(8(t-1)),t],t],t]*D[D[t^2/(4(1-t)),t],t]-D[D[t^3/
   (8(t-1)),t],t]*D[D[D[t^2/(4(1-t)),t],t],t])/.{t->0}                   SHIFT+ENTER
                  3
   Out[ ] −( )
                  8
   Вывод: при n = 3 A(t) ≠0. Так как n = 3 – нечетно, то при t = 0 имеет место
   точка возврата I рода.
6. Найдем точки, в которых может быть перегиб графика функции. Для этого
   вычислим у ′хх′ .
              4( t −1) 3 ( t −3)
   у ′хх′ =                       (убедитесь самостоятельно).
                  ( t −2) 3 t
    у ′хх′ = 0 при t =1, t = 3.
   у ′хх′ не существует при t = 2, t = 0.
7. Проанализируем поведение функции на каждом из интервалов, ограничен-
   ных полученными точками. Результаты сведем в следующую таблицу.

 T        (-∞;0)       0       (0;1)          1     (1;3/2)     3/2       (3/2;2)   (2;+∞)   2    (2;3)       3   (3;+∞)
sign         -                   +                     +                    +         -             -               -
 x′t
             +                      +                     -                  -        -             -               -
                                                                     9                                        9
x(t)       ↓от         0           ↑от               ↑от        -         ↑от       ↓от      -1    ↓      -         ↓
          -∞ до                    0 до               -∞
                                                                     8    –9/8      –1 до                     8
            0                      +∞                до –                 до -1      -∞
                                                     9/8
sign         -                      -                  -                    +         +            +                +
 y′t
            +                     -                   +                     +         +            +                +
y(t)       ↓от         0        ↓от                  ↓от        27          ↑         ↑            ↑      27        ↑
          -∞ до                0 до -                +∞                                      1
            0                    ∞                   до         32                                        16
                                                    27/32
sign         +                      -                 -                     +         -             -               -
 y′x
sign         +                      -                  +                    +                       -               +
y′xx
у(х)                 Точ.                                       Т.                                        т.п.
                    воз. 1                                      min
                    рода

8. Построим график рассмотренной функции, заданной параметрически, с по-
   мощью системы «Математика».
   In[ ] ParametricPlot[{t^2/(4(1-t)),t^3/(8(t-1))},{t,-5,5}] SHIFT+ENTER