Исследование и построение графиков функций с помощью системы "Математика". Голованева Ф.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
t
x
′
= 0 при t = 0, t = 2. х(0) = 0; у (0) = 0.
х(2) = -1; у (2) = 1.
t
x
′
не существует при t = 1.
t
y
′
= 0 при t = 0, t =
2
3
.
х(0) = 0; у (0) = 0.
Вычислим х(
2
3
); у (
2
3
).
In[ ] t^2/(4(1-t))/.{t->(3/2)} SHIFT+ENTER
Out[ ] )
8
9
(−
In[ ] t^3/(8(t-1))/.{t->(3/2)} SHIFT+ENTER
Out[ ]
32
27
.
Итак, х(
2
3
) = )
8
9
(− ; у (
2
3
) =
32
27
.
t
y
′
не существует при t = 1.
4. Найдем уравнения касательных к графику функции, параллельные осям ко-
ординат. Если при некотором t
0
, 0)t(y
0
=
&
&
, то касательная к графику функции
в точке t
0
горизонтальна. Если, при некотором t
0
0)t(x
0
=
&
&
, то касательная к
графику функции в точке t
0
вертикальна.
Найдем t
0
, при котором 0)t(x
0
=
&
&
:
In[ ] Solve[D[((2-t)t)/(4(-1+t)^2),t]==0] SHIFT+ENTER
Out[ ] { }
Вывод : вертикальных касательных к графику нет .
Найдем t
0
, при котором 0)t(y
0
=
&
&
:
In[ ] Solve[D[(t^2(-3+2t))/(8(-1+t)^2),t]==0] SHIFT+ENTER
Out[ ] {{t->0},{t->
2
]3[SqrtI3
⋅
−
},{t->
2
]3[SqrtI3
⋅
+
}
Вывод : касательная к графику функции горизонтальна при t = 0. (Осталь-
ные корни комплексные).
5. Особая точка .
При t = 0:
t
x
′
= 0 и
t
y
′
= 0, но 0))t(y())t(x(
22
+
&
&
&
&
. Это точка возврата.
Определим ее тип.
Будем искать наименьшее n, при котором выражение A(t)
≠
0.
n = 1. A(t) =
)t(y)t(x)t(x)t(y
22
t
t
t
t
′
′
⋅
′
−
′
′
⋅
′
In[ ] (D[t^3/(8(t-1)),t]*D[D[t^2/(4(1-t)),t],t]-D[D[t^3/(8(t-1)),t],t]*D[t^2/(4(1-
t)),t])/.{t->0} SHIFT+ENTER
Out[ ] 0 
                                                   27
x ′t = 0 при t = 0, t = 2. х(0) = 0; у(0) = 0.
                           х(2) = -1; у(2) = 1.
x ′t не существует при t = 1.
                        3
y ′t = 0 при t = 0, t = .
                        2
х(0) = 0; у(0) = 0.
                 3      3
Вычислим х( ); у( ).
                 2      2
In[ ] t^2/(4(1-t))/.{t->(3/2)}                                                    SHIFT+ENTER
            9
Out[ ] −( )
            8
In[ ] t^3/(8(t-1))/.{t->(3/2)}                                                    SHIFT+ENTER
         27
Out[ ]      .
         32
           3        9      3     27
Итак, х( ) = −( ) ; у( ) =            .
           2        8      2     32
y ′t не существует при t = 1.
4. Найдем уравнения касательных к графику функции, параллельные осям ко-
     ординат. Если при некотором t0, &       y&( t 0 ) =0 , то касательная к графику функции
     в точке t0 горизонтальна. Если, при некотором t0 &           x&( t 0 ) =0 , то касательная к
     графику функции в точке t0 вертикальна.
     Найдем t0, при котором &    x&( t 0 ) =0 :
     In[ ] Solve[D[((2-t)t)/(4(-1+t)^2),t]==0]                                    SHIFT+ENTER
     Out[ ] { }
     Вывод: вертикальных касательных к графику нет.

   Найдем t0, при котором &             y&( t 0 ) =0 :
   In[ ] Solve[D[(t^2(-3+2t))/(8(-1+t)^2),t]==0]                                             SHIFT+ENTER
                            3 −I ⋅ Sqrt[3]                       3 +I ⋅ Sqrt[3]
   Out[ ] {{t->0},{t->                               },{t->                       }
                                        2                                2
   Вывод: касательная к графику функции горизонтальна при t = 0. (Осталь-
   ные корни комплексные).
5. Особая точка.
   При t = 0: x ′t = 0 и y ′t = 0, но ( &            x&( t )) 2 +(& y&( t ))2 ≠0 . Это точка возврата.
   Определим ее тип.
   Будем искать наименьшее n, при котором выражение A(t) ≠0.
   n = 1. A(t) = y′t ( t ) ⋅ x ′t′ ( t ) −x ′t ( t ) ⋅ y′t′ ( t )
                              2                2


   In[ ] (D[t^3/(8(t-1)),t]*D[D[t^2/(4(1-t)),t],t]-D[D[t^3/(8(t-1)),t],t]*D[t^2/(4(1-
   t)),t])/.{t->0}                                                   SHIFT+ENTER
   Out[ ] 0

Страницы