Сопротивление материалов. Учебное пособие. Гонтарь И.Н - 39 стр.

     4 Теория напряжённого состояния
     Пояснения к решению задачи 7 (см. приложение А)
      При объёмном напряжённом состоянии тела среди бесчислен-
ного множества площадок, которые можно провести через любую
точку внутри тела, есть три взаимно перпендикулярные площадки,
на которых отсутствуют касательные напряжения. Эти площадки на-
зываются главными, а возникающие на них нормальные напряжения
называются главными напряжениями. Их обозначают σ1 , σ 2 , σ3 .
Индексы расставляют таким образом, чтобы соблюдалось условие
σ1 > σ2 > σ3 . Для данной точки σ1 − наибольшее значение, а σ3 −
наименьшее значение (алгебраически).
      Различают объёмное (трёхосное), плоское (двухосное) и линей-
ное (одноосное) напряжённые состояния.
      При плоском напряжённом состоянии в окрестностях точки
можно выделить элементарный параллелепипед, у которого две гра-
ни свободны от напряжений (главные нулевые площадки), а среди
семейства площадок, перпендикулярных нулевой главной площадке,
можно найти две взаимно перпендикулярные главные площадки, в
которых возникают наибольшее и наименьшее главные напряжения.
      Положение главных площадок определяется по формуле
                                       2τ x ( y )
                             tgα = −                .         (4.1)
                                       σx − σy
     Для этого площадки, в которых действуют σ x è σ y , следует
повернуть оси на угол α против часовой стрелки (при α > 0) или по
часовой стрелке (при α < 0).
     Величины главных напряжений, возникающих на этих главных
площадках, определяются по формуле
                     σx + σ y
                         1              2
             σãë =          (σ x − σ y ) + 4τ2x ( y ) .
                                ±                       (4.2)
                     2   2
     Индексы главных напряжений устанавливаются после вычис-
ления этих напряжений.
     Экстремальные касательные напряжения определяются по
формуле
                             1             2
             τ max/min = ±     (σ x − σ y ) + 4τ 2x ( y ) .   (4.3)
                             2
                                       39