Вычислительные методы линейной алгебры. Горбаченко В.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

16
жение имеет вид =AP QR и решается система
1
=
QRx b . Вектор
1
x нахо-
дится из решения системы
T
1
=Rx Q b . Переход к решению x исходной сис-
темы производится следующим образом:
1
=
xPx
. В самом деле, преобразо-
ванная система имеет вид
1
=
APx b
,
11 1
1
−− −
==xPAbPx, откуда
1
=xPx
.
Для матриц неполного ранга применима также экономная форма
[Q,R,P]=qr(A,0), возвращающая вектор-строку P перестановок столб-
цов матрицы. Тогда разложение имеет вид
A(:,P)=Q*R, где запись A(:,P)
означает перестановку столбцов матрицы
A в порядке, указанном вектором
P. Чтобы в этом случае перейти к решению исходной системы, необходимо
сформировать матрицу перестановок столбцов
P1, переставив столбцы еди-
ничной матрицы
E в соответствии с вектором P: P1=E(:,P). Тогда
x1=R\(Q'*b), x=P1*x1.
QR-разложение применимо к матрицам, представленным в разреженном
формате, но в этом случае не используется перестановка столбцов.
MATLAB поддерживает множество других разложений.
Сингулярное разложение произвольной матрицы A порядка nm
× – это
разложение вида
T
=
AUSV, где U – ортогональная матрица порядка nn× ; S
– диагональная матрица порядка nm
×
, на диагонали которой расположены
сингулярные числа матрицы
A (это собственные числа матрицы
T
AA); V –
ортогональная матрица порядка mm
×
. Сингулярное разложение позволяет
находить псевдорешение несовместной системы уравнений. Псевдорешение
– это вектор, который при подстановке в систему дает минимальный по евк-
лидовой норме вектор невязки. Использование сингулярного разложения об-
ладает большей, чем другие методы, устойчивостью к погрешностям округ-
ления и погрешностям задания коэффициентов и правой части системы. Син-
гулярное разложение реализуется
функцией [U,S,V] = svd(A).
На сингулярном разложении основано вычисление псевдообратной
матрицы Мура-Пенроуза , реализуемое функцией
B = pinv(A). Тогда
псевдорешение несовместной системы имеет вид
x=B*b. 
жение имеет вид AP = QR и решается система QRx1 = b . Вектор x1 нахо-

дится из решения системы Rx1 = Q Tb . Переход к решению x исходной сис-
темы производится следующим образом: x = Px1 . В самом деле, преобразо-

ванная система имеет вид APx1 = b , x1 = P −1A −1b = P −1x , откуда x = Px1 .
    Для матриц неполного ранга применима также экономная форма
[Q,R,P]=qr(A,0), возвращающая вектор-строку P перестановок столб-
цов матрицы. Тогда разложение имеет вид A(:,P)=Q*R, где запись A(:,P)
означает перестановку столбцов матрицы A в порядке, указанном вектором
P. Чтобы в этом случае перейти к решению исходной системы, необходимо
сформировать матрицу перестановок столбцов P1, переставив столбцы еди-
ничной матрицы E в соответствии с вектором P: P1=E(:,P). Тогда
x1=R\(Q'*b), x=P1*x1.
    QR-разложение применимо к матрицам, представленным в разреженном
формате, но в этом случае не используется перестановка столбцов.
MATLAB поддерживает множество других разложений.
    Сингулярное разложение произвольной матрицы A порядка n × m – это
разложение вида A = USV T , где U – ортогональная матрица порядка n × n ; S
– диагональная матрица порядка       n × m , на диагонали которой расположены
сингулярные числа матрицы A (это собственные числа матрицы A T A ); V –
ортогональная матрица порядка m × m . Сингулярное разложение позволяет
находить псевдорешение несовместной системы уравнений. Псевдорешение
– это вектор, который при подстановке в систему дает минимальный по евк-
лидовой норме вектор невязки. Использование сингулярного разложения об-
ладает большей, чем другие методы, устойчивостью к погрешностям округ-
ления и погрешностям задания коэффициентов и правой части системы. Син-
гулярное разложение реализуется функцией [U,S,V] = svd(A).
    На сингулярном разложении основано вычисление псевдообратной
матрицы Мура-Пенроуза , реализуемое функцией B = pinv(A). Тогда
псевдорешение несовместной системы имеет вид x=B*b.
                                                                                16

Страницы