Составители:
Рубрика:
Аналитическая геометрия в пространстве 25
Задание 5. Аналитическая геометрия в пространстве
Пример выполнения задания 5
Задача. Даны две плоскости:
α
1
: x + 2y −z + 1 = 0,
α
2
: x − y + z − 2 = 0.
Составить уравнение плоскости α
3
перпендикулярной к плоскости α
1
и
пересекающей ее по прямой, лежащей в плоскости α
2
. Сделать рисунок.
Решение. Поскольку линия пересечения плоскостей α
1
и α
3
лежит в
плоскости α
2
, то плоскость α
3
принадлежит множеству плоскостей, про-
ходящих через прямую пересечения плоскостей α
1
и α
2
(пучок плоско-
стей). Любую плоскость из этого множества мы можем записать в виде:
x + 2y − z + 1 + k(x − y + z − 2) = 0,
или
(1 + k)x + (2 − k)y + (k − 1)z + 1 − 2k = 0.
Для того, чтобы плоскости α
1
и α
3
были перпендикулярными, ска-
лярное произведение их нормальных векторов ~n
1
= (1, 2, −1) и ~n
3
=
(1 + k, 2 − k, −k − 1) должно быть равно нулю. Это приводит к уравне-
нию для определения k:
(1 + k) + 2(2 − k) − (k − 1) = −2k + 6 = 0.
Получаем k = 3. Подставляя найденное значение в уравнение, полу-
чим уравнение искомой плоскости:
α
3
: 4x − y + 2z − 5 = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
