Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§5. Неравенства и принцип Гарнака 119
Теорема 1. Пусть u — неотрицательная гармоническая в O
r
(z
0
) и
непрерывная в O
r
(z
0
) функция. Тогда для всех z ∈ O
r
(z
0
) выполня-
ются неравенства
r − |z − z
0
|
r + |z − z
0
|
u(z
0
) ≤ u(z) ≤
r + |z − z
0
|
r − |z − z
0
|
u(z
0
). (1)
Доказательство. Рассмотрим функцию v(ζ) = u(z
0
+ rζ). Для нее
выполнены условия применимости формулы Пуассона, согласно ко-
торой
v(ζ) =
1
2π
Z
T
1 − |ζ|
2
|æ − ζ|
2
v(æ) |dæ|.
Замечая
,
что
1 − |ζ|
1 + |ζ|
≤
1 − |ζ|
2
|æ − ζ|
2
≤
1 + |ζ|
1 − |ζ|
,
и учитывая неотрицательность v(æ), получаем
1 − |ζ|
1 + |ζ|
1
2π
Z
T
v(æ) |dæ| ≤ v(ζ) ≤
1 + |ζ|
1 − |ζ|
1
2π
Z
T
v(æ) |dæ|.
В силу теоремы о среднем эти неравенства переписываются в виде:
1 − |ζ|
1 + |ζ|
v(0) ≤ v(ζ) ≤
1 + |ζ|
1 − |ζ|
v(0).
Остается в этих неравенствах положить ζ = (z−z
0
) / r и заметить,что
v(0) = u(z
0
), v
Ã
z − z
0
r
!
= u(z).
2
Упражнение. Покажите, что неотрицательная гармоническая во
всей плоскости функция тождественно постоянная.
Теорема 2 (Гарнака). Пусть последовательность гармонических
в области D функций u
n
удовлетворяет условию u
n
(z) ≤ u
n+1
(z) при
всех z ∈ D и n = 1, 2, . . . . Тогда выполняется одно из следующих
утверждений:
(i) u
n
(z) → ∞ локально равномерно в D при n → ∞;
§ 5.   Неравенства и принцип Гарнака                                     119

Теорема 1. Пусть u — неотрицательная гармоническая в Or (z0 ) и
непрерывная в Or (z0 ) функция. Тогда для всех z ∈ Or (z0 ) выполня-
ются неравенства
               r − |z − z0 |                 r + |z − z0 |
                             u(z0 ) ≤ u(z) ≤               u(z0 ).       (1)
               r + |z − z0 |                 r − |z − z0 |

Доказательство. Рассмотрим функцию v(ζ) = u(z0 + rζ). Для нее
выполнены условия применимости формулы Пуассона, согласно ко-
торой
                         1 Z 1 − |ζ|2
                 v(ζ) =               v(æ) |dæ|.
                        2π T |æ − ζ|2
Замечая, что
                        1 − |ζ|   1 − |ζ|2   1 + |ζ|
                                ≤          ≤         ,
                        1 + |ζ|   |æ − ζ|2   1 − |ζ|
и учитывая неотрицательность v(æ), получаем
          1 − |ζ| 1 Z                     1 + |ζ| 1 Z
                       v(æ) |dæ| ≤ v(ζ) ≤              v(æ) |dæ|.
          1 + |ζ| 2π T                    1 − |ζ| 2π T

В силу теоремы о среднем эти неравенства переписываются в виде:
                     1 − |ζ|               1 + |ζ|
                             v(0) ≤ v(ζ) ≤         v(0).
                     1 + |ζ|               1 − |ζ|
Остается в этих неравенствах положить ζ = (z−z0 ) / r и заметить,что
                                         Ã        !
                                          z − z0
                   v(0) = u(z0 ),       v        = u(z).
                                            r
                                                                     2
Упражнение. Покажите, что неотрицательная гармоническая во
всей плоскости функция тождественно постоянная.

Теорема 2 (Гарнака). Пусть последовательность гармонических
в области D функций un удовлетворяет условию un (z) ≤ un+1 (z) при
всех z ∈ D и n = 1, 2, . . . . Тогда выполняется одно из следующих
утверждений:
(i) un (z) → ∞ локально равномерно в D при n → ∞;

Страницы