Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

118 Глава VI . Гармонические функции
Доказательство. Пусть z
0
∈ D и r > 0, такие, что O
r
(z
0
) ⊂ D.
Определим
V (z) = P(z; u
r
) =
1
2π
Z
T
1 − |z|
2
|æ − z|
2
u(z
0
+ ræ) |dæ|.
Из свойств интеграла Пуассона следует, что функция V является гар-
монической в D и непрерывной в D. Кроме того, V (æ) = u(z
0
+ ræ)
для всех æ ∈ T.
Рассмотрим теперь функцию
v(z) = V
Ã
z − z
0
r
!
,
которая гармонична в O
r
(z
0
), непрерывна в O
r
(z
0
) и совпадает с u на
∂ O
r
(z
0
). Очевидно, что разность u(z) −v(z) является непрерывной в
O
r
(z
0
) функцией, обладающей в O
r
(z
0
) локально свойством среднего
значения. Следовательно, по предыдущей теореме u−v не достигает в
O
r
(z
0
) ни максимума, ни минимума, если только она не тождественно
постоянна. Однако u(z) − v(z) = 0 при z ∈ ∂ O
r
(z
0
) и потому u(z) ≡
v(z) в O
r
(z
0
).
2
Полученное характеристическое свойство гармонических
функций делает интуитивно понятным, почему установившееся рас-
пределение температур в однородной плоской пластине D есть гармо-
ническая функция. В противном случае в какой–нибудь точке z
0
∈ D
значение температуры было бы строго больше или строго меньше,
чем среднее температуры на достаточно малой окружности с цент-
ром в z
0
. Следовательно, в этой точке происходило бы соответственно
уменьшение или увеличение температуры.
§5. Неравенства и принцип Гарнака
В этом параграфе мы приведем два результата Гарнака, касаю-
щиеся сходимости гармонических функций и неравенств для ограни-
ченных гармонических функций.
118                               Глава VI .        Гармонические функции

Доказательство. Пусть z0 ∈ D и r > 0, такие, что Or (z0 ) ⊂ D.
Определим

                                 1 Z 1 − |z|2
           V (z) = P (z; ur ) =               u(z0 + ræ) |dæ|.
                                2π T |æ − z|2

Из свойств интеграла Пуассона следует, что функция V является гар-
монической в D и непрерывной в D. Кроме того, V (æ) = u(z0 + ræ)
для всех æ ∈ T.
    Рассмотрим теперь функцию
                                     Ã        !
                                         z − z0
                          v(z) = V              ,
                                           r

которая гармонична в Or (z0 ), непрерывна в Or (z0 ) и совпадает с u на
∂ Or (z0 ). Очевидно, что разность u(z) − v(z) является непрерывной в
Or (z0 ) функцией, обладающей в Or (z0 ) локально свойством среднего
значения. Следовательно, по предыдущей теореме u−v не достигает в
Or (z0 ) ни максимума, ни минимума, если только она не тождественно
постоянна. Однако u(z) − v(z) = 0 при z ∈ ∂ Or (z0 ) и потому u(z) ≡
v(z) в Or (z0 ).
                                                             2
    Полученное характеристическое свойство гармонических
функций делает интуитивно понятным, почему установившееся рас-
пределение температур в однородной плоской пластине D есть гармо-
ническая функция. В противном случае в какой–нибудь точке z0 ∈ D
значение температуры было бы строго больше или строго меньше,
чем среднее температуры на достаточно малой окружности с цент-
ром в z0 . Следовательно, в этой точке происходило бы соответственно
уменьшение или увеличение температуры.


§ 5.   Неравенства и принцип Гарнака

    В этом параграфе мы приведем два результата Гарнака, касаю-
щиеся сходимости гармонических функций и неравенств для ограни-
ченных гармонических функций.

Страницы