Курс лекций по теории функций комплексного переменного. Горяйнов В.В. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

§4. Характеристическое свойство гармонических функций 117
§4. Характеристическое свойство гармонических функций
Ранее было установлено, что гармонические функции обладают
свойством среднего значения. Оказывается, что это свойство является
для них характеристическим.
Определение. Будем говорить, что непрерывная в области D
функция u обладает локально свойством среднего значения, если
для каждой точки z
0
∈ D найдется такое r > 0, что O
r
(z
0
) ⊂ D и
u(z
0
) =
1
2π
2π
Z
0
u(z
0
+ ρe
iθ
) dθ =
1
2π
Z
T
u(z
0
+ ρæ) |dæ| (1)
для всех ρ ∈ (0, r).
Теорема 1. Непостоянная непрерывная в области D функция u, об-
ладающая в D локально свойством среднего значения, не может
достигать внутри D ни минимума, ни максимума.
Доказательство. Допустим, что функция u достигает в точке z
0
∈
D своего максимума (или минимума). По определению свойства най -
дется такое r > 0, что при всех ρ ∈ (0, r) выполняется равенство (1).
Поскольку для всех æ ∈ T имеет место неравенство u(z
0
+ρæ) ≤ u(z
0
)
(или u(z
0
+ ρæ) ≥ u(z
0
)), то равенство (1) вместе с непрерывностью
функции u дает u(z
0
+ ρæ) = u(z
0
) при всех ρ ∈ (0, r) и æ ∈ T. Та-
ким образом, множество A точек области D, в которых u достигает
своего максимума (или минимума) открыто. С другой стороны, мно-
жество B = D \ A в силу непрерывности функции u также должно
быть открытым. Поскольку D связно, то одно из множеств A или
B должно быть пустым. По предположению A 6= ∅. Следовательно,
B = ∅ и A = D. Однако это влечет условие u(z) ≡ u(z
0
), которое
противоречит непостоянности функции u.
2
Теорема 2. Непрерывная в области D функция u, обладающая в D
локально свойством среднего значения, является гармонической.
§ 4.   Характеристическое свойство гармонических функций                   117

§ 4.   Характеристическое свойство гармонических функций

    Ранее было установлено, что гармонические функции обладают
свойством среднего значения. Оказывается, что это свойство является
для них характеристическим.

Определение. Будем говорить, что непрерывная в области D
функция u обладает локально свойством среднего значения, если
для каждой точки z0 ∈ D найдется такое r > 0, что Or (z0 ) ⊂ D и

                     1   Z2π                         1 Z
           u(z0 ) =            u(z0 + ρeiθ ) dθ =        u(z0 + ρæ) |dæ|   (1)
                    2π   0
                                                    2π T

для всех ρ ∈ (0, r).

Теорема 1. Непостоянная непрерывная в области D функция u, об-
ладающая в D локально свойством среднего значения, не может
достигать внутри D ни минимума, ни максимума.

Доказательство. Допустим, что функция u достигает в точке z0 ∈
D своего максимума (или минимума). По определению свойства най-
дется такое r > 0, что при всех ρ ∈ (0, r) выполняется равенство (1).
Поскольку для всех æ ∈ T имеет место неравенство u(z0 + ρæ) ≤ u(z0 )
(или u(z0 + ρæ) ≥ u(z0 )), то равенство (1) вместе с непрерывностью
функции u дает u(z0 + ρæ) = u(z0 ) при всех ρ ∈ (0, r) и æ ∈ T. Та-
ким образом, множество A точек области D, в которых u достигает
своего максимума (или минимума) открыто. С другой стороны, мно-
жество B = D \ A в силу непрерывности функции u также должно
быть открытым. Поскольку D связно, то одно из множеств A или
B должно быть пустым. По предположению A 6= ∅. Следовательно,
B = ∅ и A = D. Однако это влечет условие u(z) ≡ u(z0 ), которое
противоречит непостоянности функции u.
                                                           2


Теорема 2. Непрерывная в области D функция u, обладающая в D
локально свойством среднего значения, является гармонической.

Страницы